Номер 11.26, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.26. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида, стороны оснований которой равны 18 см и 24 см, а боковое ребро — 6 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi(R + r)l$,где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — образующая конуса.

По условию, около усеченного конуса описана правильная усеченная треугольная пирамида. Это означает, что основания конуса (окружности) вписаны в основания пирамиды (правильные треугольники). Следовательно, радиусы оснований конуса $R$ и $r$ равны радиусам вписанных в эти треугольники окружностей.

Основания пирамиды — это правильные треугольники со сторонами $a_1 = 24$ см и $a_2 = 18$ см. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, находится по формуле:$r_{вп} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Найдем радиус большего (нижнего) основания конуса:$R = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{24}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Найдем радиус меньшего (верхнего) основания конуса:$r = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Образующая усеченного конуса $l$ равна апофеме усеченной пирамиды (высоте ее боковой грани). Боковая грань пирамиды представляет собой равнобокую трапецию с основаниями $a_1 = 24$ см, $a_2 = 18$ см и боковой стороной, равной боковому ребру пирамиды, $b = 6$ см.

Найдем высоту этой трапеции (апофему $l$) с помощью теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $l$ (катет), боковым ребром $b=6$ см (гипотенуза) и отрезком на большем основании, равным полуразности оснований трапеции (второй катет).Длина этого отрезка равна:$\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{24 - 18}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

По теореме Пифагора:$l^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2 = b^2$$l^2 + 3^2 = 6^2$$l^2 + 9 = 36$$l^2 = 36 - 9 = 27$$l = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь у нас есть все необходимые значения для расчета площади боковой поверхности усеченного конуса:$R = 4\sqrt{3}$ см, $r = 3\sqrt{3}$ см, $l = 3\sqrt{3}$ см.

Подставим эти значения в формулу:$S_{бок} = \pi(R + r)l = \pi(4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{3}$$S_{бок} = \pi(7\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{3}$$S_{бок} = 21\pi \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$$S_{бок} = 21\pi \cdot 3 = 63\pi$ см².

Ответ: $63\pi$ см².