Номер 11.28, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.28. Высота правильной треугольной пирамиды равна $h$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. В пирамиду вписан конус. Через вершину конуса проведена плоскость. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью, если известно, что эта площадь принимает наибольшее значение.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Пусть $O$ — центр основания, тогда $SO$ — высота пирамиды, и по условию $SO = h$.

Боковое ребро, например $SA$, образует с плоскостью основания $ABC$ угол $\alpha$. Проекцией ребра $SA$ на эту плоскость является отрезок $AO$. Следовательно, $\angle SAO = \alpha$. $AO$ является радиусом $R$ окружности, описанной около правильного треугольника $ABC$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle SAO$ находим $R$:$R = AO = \frac{SO}{\tan \alpha} = h \cot \alpha$.

В пирамиду вписан конус. Его вершина совпадает с вершиной пирамиды $S$, высота равна высоте пирамиды $h$, а основанием является круг, вписанный в треугольник $ABC$. Радиус $r$ этого круга (и основания конуса) связан с радиусом описанной окружности $R$ для правильного треугольника соотношением $R = 2r$. Следовательно, радиус основания конуса:$r = \frac{R}{2} = \frac{h \cot \alpha}{2}$.

Найдем образующую $l$ конуса. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, радиусом $r$ и образующей $l$, по теореме Пифагора получаем:$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{h \cot \alpha}{2}\right)^2} = \frac{h}{2}\sqrt{4 + \cot^2 \alpha}$.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующей $l$. Площадь такого сечения $A$ вычисляется по формуле:$A = \frac{1}{2}l^2 \sin\gamma$,где $\gamma$ — угол между образующими, формирующими сечение.

Чтобы найти сечение с наибольшей площадью, необходимо найти максимальное значение $A$. Так как $l$ является постоянной величиной для данного конуса, площадь $A$ максимальна, когда максимальна величина $\sin\gamma$.

Угол $\gamma$ может изменяться в зависимости от выбора секущей плоскости. Максимальное значение угла $\gamma$ достигается в осевом сечении конуса. Обозначим этот максимальный угол $\beta$. Из треугольника осевого сечения имеем $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{r}{l}$. Таким образом, $\gamma \in [0, \beta]$.

Для нахождения наибольшей площади сечения рассмотрим два возможных случая, зависящих от величины угла $\beta$.

Первый случай: $\beta \ge 90^\circ$. В этом случае угол $\gamma$ может принимать значение $90^\circ$, при котором $\sin\gamma$ достигает своего максимума, равного 1. Условие $\beta \ge 90^\circ$ равносильно $\frac{\beta}{2} \ge 45^\circ$, а значит $\sin\frac{\beta}{2} \ge \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим сюда отношение $\frac{r}{l}$:$\frac{r}{l} = \frac{\frac{h \cot \alpha}{2}}{\frac{h}{2}\sqrt{4 + \cot^2 \alpha}} = \frac{\cot \alpha}{\sqrt{4 + \cot^2 \alpha}} \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$. Возведя обе положительные части в квадрат, получим $\frac{\cot^2 \alpha}{4 + \cot^2 \alpha} \ge \frac{1}{2}$, что приводит к $\cot^2 \alpha \ge 4$. Так как $\alpha$ — острый угол ($0 < \alpha < \pi/2$), то $\cot \alpha > 0$, следовательно, $\cot \alpha \ge 2$. При выполнении этого условия наибольшая площадь сечения достигается при $\gamma=90^\circ$ и равна $A_{max} = \frac{1}{2}l^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{h}{2}\sqrt{4 + \cot^2 \alpha}\right)^2 = \frac{h^2}{8}(4 + \cot^2 \alpha)$.

Второй случай: $\beta < 90^\circ$. Это соответствует условию $\cot \alpha < 2$. В этом диапазоне функция $\sin\gamma$ возрастает на отрезке $[0, \beta]$, и ее максимум достигается при $\gamma = \beta$. Сечение с наибольшей площадью в этом случае — осевое сечение конуса. Его площадь равна $A_{max} = rh = \left(\frac{h \cot \alpha}{2}\right)h = \frac{h^2 \cot \alpha}{2}$.

Объединяя результаты, получаем итоговый ответ.

Ответ: если $\cot \alpha \ge 2$, то площадь равна $\frac{h^2}{8}(4 + \cot^2 \alpha)$; если $\cot \alpha < 2$, то площадь равна $\frac{h^2 \cot \alpha}{2}$.