Номер 11.33, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.33. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите длину данной окружности, если длина перпендикуляра равна 18 см.

Пусть на диаметр $AB$ окружности из точки $C$ на окружности опущен перпендикуляр $CH$. По условию задачи, длина перпендикуляра $CH = 18$ см.

Перпендикуляр делит диаметр на два отрезка $AH$ и $HB$. Пусть длина меньшего отрезка $HB$ равна $x$ см. Тогда, согласно условию, длина большего отрезка $AH$ равна $(x + 27)$ см.

Рассмотрим треугольник $ACB$. Так как угол $C$ опирается на диаметр $AB$, то он является прямым ($\angle ACB = 90^\circ$). $CH$ является высотой, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике $ACB$.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$CH^2 = AH \cdot HB$

Подставим известные значения в это уравнение:

$18^2 = (x + 27) \cdot x$

$324 = x^2 + 27x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 27x - 324 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 27^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-324) = 729 + 1296 = 2025$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 + \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{-27 + 45}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 - \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{-27 - 45}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Поскольку $x$ обозначает длину отрезка, его значение должно быть положительным. Следовательно, $x = 9$ см.

Теперь мы можем найти длины отрезков, на которые перпендикуляр делит диаметр:

$HB = x = 9$ см

$AH = x + 27 = 9 + 27 = 36$ см

Длина всего диаметра $d$ равна сумме длин этих отрезков:

$d = AH + HB = 36 + 9 = 45$ см

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = \pi d$. Подставим значение диаметра:

$L = \pi \cdot 45 = 45\pi$ см

Ответ: $45\pi$ см.