Номер 11.25, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.25. В правильную усечённую четырёхугольную пирамиду вписан усечённый конус, радиусы оснований которого равны 5 см и 7 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Поскольку усечённый конус вписан в правильную четырёхугольную усечённую пирамиду, основания конуса (окружности) вписаны в основания пирамиды (квадраты). Это означает, что диаметры оснований конуса равны сторонам соответствующих оснований пирамиды.

1. Нахождение сторон оснований пирамиды
Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы меньшего и большего оснований конуса, а $a_1$ и $a_2$ — стороны меньшего и большего оснований пирамиды.
Дано: $r_1 = 5$ см, $r_2 = 7$ см.
Сторона квадрата равна диаметру вписанной в него окружности.
Сторона меньшего основания: $a_1 = 2r_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см.
Сторона большего основания: $a_2 = 2r_2 = 2 \cdot 7 = 14$ см.

2. Нахождение периметров оснований пирамиды
Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$.
Периметр меньшего основания: $P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 10 = 40$ см.
Периметр большего основания: $P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 14 = 56$ см.

3. Нахождение апофемы усечённой пирамиды
Апофема правильной усечённой пирамиды ($h_a$) — это высота её боковой грани. Для пирамиды, в которую вписан конус, апофема пирамиды равна образующей ($l$) вписанного конуса.
Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, у которой основаниями являются диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами — образующие конуса.
Проведём высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему. Получим прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — образующая конуса $l$;
• один катет — высота усечённого конуса $H$;
• другой катет — разность радиусов оснований $r_2 - r_1$.

Угол между образующей и плоскостью большего основания равен углу между гипотенузой $l$ и катетом $r_2 - r_1$. По условию этот угол равен $45^\circ$.
Найдём разность радиусов: $r_2 - r_1 = 7 - 5 = 2$ см.
Из прямоугольного треугольника:
$\cos(45^\circ) = \frac{r_2 - r_1}{l}$
Отсюда найдём образующую $l$:
$l = \frac{r_2 - r_1}{\cos(45^\circ)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.
Таким образом, апофема пирамиды $h_a = l = 2\sqrt{2}$ см.

4. Вычисление площади боковой поверхности усечённой пирамиды
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$
Подставим найденные значения:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(40 + 56) \cdot 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 2\sqrt{2} = 96\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $96\sqrt{2}$ см$^2$.