Номер 11.3, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.3. Основанием пирамиды является треугольник со стороной $a$ и противолежащим ей углом $\alpha$, а угол между каждым боковым ребром и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите высоту и образующую конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть $S$ – вершина пирамиды, $ABC$ – треугольник в основании, $a$ – сторона (например, $BC$), $\alpha$ – противолежащий ей угол ($\angle BAC$). Пусть $SO$ – высота пирамиды.

Так как все боковые ребра пирамиды ($SA, SB, SC$) наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$, то их проекции на плоскость основания равны между собой ($OA = OB = OC$). Это означает, что точка $O$ – центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Конус, описанный около данной пирамиды, будет иметь ту же вершину $S$ и ту же высоту $SO=H$. Основанием конуса будет окружность, описанная около треугольника $ABC$. Радиус этой окружности $R = OA = OB = OC$. Образующая конуса $L$ будет равна боковому ребру пирамиды ($L=SA=SB=SC$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$ (например, $\triangle SOA$). Угол между боковым ребром (образующей) и плоскостью основания по условию равен $\beta$, то есть $\angle SAO = \beta$.

1. Нахождение высоты конуса ($H$)

Сначала найдем радиус $R$ основания конуса. По теореме синусов для треугольника в основании: $ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

Отсюда радиус описанной окружности: $ R = \frac{a}{2 \sin \alpha} $

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ выразим высоту $H$: $ \tan \beta = \frac{SO}{OA} = \frac{H}{R} $

Следовательно, высота конуса: $ H = R \tan \beta = \frac{a}{2 \sin \alpha} \cdot \tan \beta = \frac{a \tan \beta}{2 \sin \alpha} $

Ответ: Высота конуса равна $ \frac{a \tan \beta}{2 \sin \alpha} $.

2. Нахождение образующей конуса ($L$)

Из того же прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ выразим образующую $L$: $ \cos \beta = \frac{OA}{SA} = \frac{R}{L} $

Следовательно, образующая конуса: $ L = \frac{R}{\cos \beta} = \frac{\frac{a}{2 \sin \alpha}}{\cos \beta} = \frac{a}{2 \sin \alpha \cos \beta} $

Ответ: Образующая конуса равна $ \frac{a}{2 \sin \alpha \cos \beta} $.