Номер 10.24, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.24. Площадь равнобедренного треугольника равна S, а угол между его боковыми сторонами равен $ \alpha $. Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при его основании перпендикулярно основанию. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$ и боковыми сторонами $AB=AC=b$. Угол между боковыми сторонами $\angle BAC = \alpha$. Площадь треугольника равна $S$.

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и угол между ними:$S = \frac{1}{2} b \cdot b \sin(\alpha) = \frac{1}{2} b^2 \sin(\alpha)$. Отсюда мы можем выразить квадрат боковой стороны:$b^2 = \frac{2S}{\sin(\alpha)}$.

Найдем длину основания $a = BC$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:$a^2 = b^2 + b^2 - 2b \cdot b \cos(\alpha) = 2b^2(1-\cos(\alpha))$. Используя формулу половинного угла $1-\cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:$a^2 = 2b^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4b^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. Следовательно, длина основания:$a = 2b\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при основании (пусть это будет вершина $C$) перпендикулярно основанию $BC$. Поместим треугольник в систему координат так, чтобы вершина $C$ была в начале координат $(0,0)$, а основание $BC$ лежало на оси $Ox$. Тогда вершина $B$ будет иметь координаты $(a, 0)$, а осью вращения будет ось $Oy$.

Площадь поверхности тела вращения складывается из площадей поверхностей, образованных вращением каждой из сторон треугольника $AB$, $BC$ и $AC$.

1. Вращение основания BC:
   Отрезок $BC$ вращается вокруг оси, проходящей через его конец $C$. При этом точка $B$ описывает окружность радиуса $a$. Образуется плоский круг, площадь которого равна: $S_1 = \pi a^2$.
2. Вращение боковой стороны AC:
   При вращении отрезка $AC$ образуется боковая поверхность конуса. Вершина конуса находится в точке $C(0,0)$. Образующей является сторона $AC$, ее длина $l = b$. Радиус основания конуса равен расстоянию от точки $A$ до оси вращения (оси $Oy$). Высота треугольника, опущенная из вершины $A$ на основание $BC$, делит основание пополам. Поэтому абсцисса точки $A$ равна $x_A = a/2$. Этот отрезок и есть радиус основания конуса. Площадь боковой поверхности этого конуса: $S_2 = \pi r l = \pi \cdot \frac{a}{2} \cdot b = \frac{1}{2}\pi ab$.
3. Вращение боковой стороны AB:
   Для нахождения площади поверхности, образованной вращением отрезка $AB$, воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина: площадь поверхности вращения равна произведению длины отрезка на длину окружности, которую описывает центр масс (середина) этого отрезка. Длина отрезка $AB$ равна $b$. Координаты вершин: $A(a/2, h)$ (где $h$ — высота треугольника), $B(a, 0)$. Координаты середины отрезка $AB$: $M(\frac{a/2+a}{2}, \frac{h+0}{2}) = (\frac{3a}{4}, \frac{h}{2})$. Расстояние от середины отрезка до оси вращения (оси $Oy$) равно ее абсциссе: $d = \frac{3a}{4}$. Площадь поверхности вращения: $S_3 = 2\pi d \cdot b = 2\pi \cdot \frac{3a}{4} \cdot b = \frac{3}{2}\pi ab$.

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей этих трех поверхностей:$S_{пов} = S_1 + S_2 + S_3 = \pi a^2 + \frac{1}{2}\pi ab + \frac{3}{2}\pi ab = \pi a^2 + 2\pi ab = \pi a(a+2b)$.

Теперь подставим выражения для $a$ и $b$ через $S$ и $\alpha$. Сначала выразим все через $b$ и $\alpha$:$S_{пов} = \pi (2b\sin(\frac{\alpha}{2}))(2b\sin(\frac{\alpha}{2}) + 2b) = 4\pi b^2 \sin(\frac{\alpha}{2})(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))$. Теперь подставим $b^2 = \frac{2S}{\sin(\alpha)}$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:$b^2 = \frac{2S}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{S}{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}$. Подставляем это в выражение для $S_{пов}$:$S_{пов} = 4\pi \left(\frac{S}{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}\right) \sin(\frac{\alpha}{2})(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))$. Сокращаем $\sin(\frac{\alpha}{2})$:$S_{пов} = \frac{4\pi S(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $S_{пов} = \frac{4\pi S(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.