Номер 10.20, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.20. Через две образующие усечённого конуса, угол между которыми равен $90^\circ$, проведена плоскость, пересекающая большее основание по хорде длиной $a$, а меньшее — по хорде длиной $b$ и отсекающая от окружности каждого основания дугу, градусная мера которой $120^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, а $l$ — длина образующей. Для решения задачи необходимо выразить $R$, $r$ и $l$ через заданные в условии величины $a$ и $b$.

Найдём радиусы оснований. В окружности радиуса $R'$ хорда $c$, стягивающая дугу в $120^\circ$, является основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $R'$ и углом между ними $120^\circ$ (центральный угол). По теореме косинусов для этого треугольника: $c^2 = (R')^2 + (R')^2 - 2R' \cdot R' \cos(120^\circ) = 2(R')^2(1 - (-\frac{1}{2})) = 3(R')^2$, откуда $c = R'\sqrt{3}$. Следовательно, радиус основания можно выразить через длину хорды как $R' = \frac{c}{\sqrt{3}}$. Для большего основания с хордой длиной $a$ радиус $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Для меньшего основания с хордой длиной $b$ радиус $r = \frac{b}{\sqrt{3}}$.

Теперь определим длину образующей $l$. Секущая плоскость проходит через две образующие, угол между которыми равен $90^\circ$. Это означает, что если достроить усечённый конус до полного, то эти образующие пересекутся в его вершине под прямым углом. Рассмотрим сечение полного конуса этой плоскостью. В сечении получится равнобедренный прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является хорда $a$, а катетами — образующие полного конуса $L$. Из теоремы Пифагора следует, что $a^2 = L^2+L^2 = 2L^2$, откуда $L = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Аналогично, для малого (отсечённого) конуса его образующая $l'$ связана с хордой $b$ соотношением $l' = \frac{b}{\sqrt{2}}$. Длина образующей усечённого конуса $l$ равна разности длин образующих полного и отсечённого конусов: $l = L - l' = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$.

Подставим найденные выражения для $R$, $r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi\left(\frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{b}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{a-b}{\sqrt{2}}\right) = \pi \frac{a+b}{\sqrt{3}} \cdot \frac{a-b}{\sqrt{2}} = \pi \frac{a^2-b^2}{\sqrt{6}}$.

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем окончательный результат:

$S_{бок} = \frac{\pi(a^2-b^2)\sqrt{6}}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{6}}{6}(a^2-b^2)$.