Номер 10.22, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.22. Ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно к его стороне. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Для решения задачи разместим ромб в декартовой системе координат. Пусть вершина острого угла $A$ находится в начале координат $A(0,0)$. Пусть сторона ромба $AB$ длиной $a$ лежит на оси $Ox$. Тогда вершина $B$ имеет координаты $B(a,0)$. Ось вращения, согласно условию, проходит через вершину $A$ перпендикулярно стороне $AB$, следовательно, осью вращения является ось $Oy$.

Найдем координаты остальных вершин ромба. Сторона $AD$ также имеет длину $a$ и образует с осью $Ox$ угол $\alpha$. Поэтому координаты вершины $D$ будут $D(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$. Вершина $C$ является результатом векторного сложения $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Таким образом, координаты вершины $C$ равны $C(a + a \cos \alpha, a \sin \alpha)$.

Поверхность тела вращения состоит из поверхностей, образованных вращением сторон ромба $AB, BC, CD$ и $DA$ вокруг оси $Oy$. Найдем площадь каждой из этих поверхностей.

1. Вращение стороны AD.
Сторона $AD$ соединяет начало координат $A(0,0)$ с точкой $D(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$. При вращении вокруг оси $Oy$ она образует боковую поверхность конуса. Радиус основания этого конуса равен абсциссе точки $D$, то есть $r_D = a \cos \alpha$. Образующая конуса равна длине стороны $AD$, то есть $l = a$. Площадь этой поверхности:
$S_1 = S_{AD} = \pi r_D l = \pi (a \cos \alpha) a = \pi a^2 \cos \alpha$.

2. Вращение стороны CD.
Сторона $CD$ соединяет точки $D(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ и $C(a(1 + \cos \alpha), a \sin \alpha)$. Так как ординаты этих точек равны, отрезок $CD$ параллелен оси $Ox$. При вращении вокруг оси $Oy$ он образует плоское кольцо (annulus). Внешний радиус кольца равен абсциссе точки $C$ ($R = a(1 + \cos \alpha)$), а внутренний радиус равен абсциссе точки $D$ ($r = a \cos \alpha$).Площадь этого кольца:
$S_2 = S_{CD} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (a(1 + \cos \alpha))^2 - \pi (a \cos \alpha)^2$
$S_2 = \pi a^2 ((1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha) - \cos^2 \alpha) = \pi a^2 (1 + 2\cos \alpha)$.

3. Вращение стороны BC.
Сторона $BC$ соединяет точки $B(a,0)$ и $C(a(1 + \cos \alpha), a \sin \alpha)$. При вращении она образует боковую поверхность усеченного конуса. Радиусы оснований этого усеченного конуса равны абсциссам точек $B$ и $C$: $r_B = a$ и $r_C = a(1 + \cos \alpha)$. Образующая равна длине стороны $BC$, то есть $l = a$. Площадь боковой поверхности усеченного конуса:
$S_3 = S_{BC} = \pi (r_B + r_C) l = \pi (a + a(1 + \cos \alpha)) a = \pi a^2 (2 + \cos \alpha)$.

4. Вращение стороны AB.
Сторона $AB$ соединяет точки $A(0,0)$ и $B(a,0)$. При вращении вокруг оси $Oy$ она образует плоский круг радиусом $r_{AB} = a$. Площадь этого круга:
$S_4 = S_{AB} = \pi r_{AB}^2 = \pi a^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей всех этих поверхностей:
$S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$
$S = \pi a^2 \cos \alpha + \pi a^2 (1 + 2\cos \alpha) + \pi a^2 (2 + \cos \alpha) + \pi a^2$
$S = \pi a^2 (\cos \alpha + 1 + 2\cos \alpha + 2 + \cos \alpha + 1)$
$S = \pi a^2 (4 + 4\cos \alpha) = 4\pi a^2 (1 + \cos \alpha)$.

Используя формулу двойного угла $1 + \cos \alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, можно записать ответ в другом виде:
$S = 4\pi a^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 8\pi a^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $4\pi a^2 (1 + \cos \alpha)$ или $8\pi a^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$.