Номер 10.15, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.15. В усечённом конусе проведено осевое сечение $CC_1D_1D$ и по разные стороны от него на основаниях конуса выбраны точки $A$ и $B$ (рис. 10.10). Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $CC_1D_1$.

Рис. 10.10

Для построения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью осевого сечения $CC_1D_1D$ используется метод вспомогательной плоскости. Построение выполняется по следующему алгоритму:

1. Построение вершины полного конуса.

   Осевое сечение $CC_1D_1D$ является равнобедренной трапецией. Его боковые стороны $CC_1$ и $DD_1$ лежат на образующих конуса. Продлим отрезки $CC_1$ и $DD_1$ до их пересечения. Точку пересечения обозначим $S$. Эта точка является вершиной полного конуса, из которого был получен усеченный конус.

2. Выбор и построение вспомогательной плоскости.

   В качестве вспомогательной плоскости $\pi$ выберем плоскость, проходящую через точки $S, A$ и $B$. Обозначим ее $(SAB)$. По построению, прямая $AB$ лежит в этой плоскости.

3. Нахождение линии пересечения плоскостей.

   Теперь необходимо найти прямую, по которой пересекаются вспомогательная плоскость $(SAB)$ и плоскость сечения $(CC_1D_1D)$. Для построения прямой достаточно найти две ее точки.

   • Первая общая точка — это вершина $S$, так как $S$ принадлежит прямым $CC_1$ и $DD_1$, а значит, и всей плоскости сечения $(CC_1D_1D)$, и по построению принадлежит вспомогательной плоскости $(SAB)$.
   • Вторую общую точку найдем как точку пересечения следов этих плоскостей на плоскости нижнего основания конуса.
     - След плоскости сечения $(CC_1D_1D)$ на плоскости нижнего основания — это прямая $CD$.
     - След плоскости $(SAB)$ на плоскости нижнего основания — это прямая, проходящая через точку $A$. Для ее построения найдем еще одну точку: точку $B_0$, в которой прямая $SB$ пересекает плоскость нижнего основания. Тогда прямая $AB_0$ и будет искомым следом.
     - Точка $K$, в которой пересекаются прямые $CD$ и $AB_0$ ($K = CD \cap AB_0$), лежит на обоих следах. Следовательно, точка $K$ принадлежит обеим плоскостям: $(CC_1D_1D)$ и $(SAB)$. Это вторая общая точка.

   Таким образом, прямая $SK$ является линией пересечения плоскости $(SAB)$ и плоскости $(CC_1D_1D)$.

4. Нахождение искомой точки пересечения.

   Искомая точка является точкой пересечения исходной прямой $AB$ и плоскости $(CC_1D_1D)$. Так как прямая $AB$ лежит во вспомогательной плоскости $(SAB)$, а линия пересечения $SK$ лежит в обеих плоскостях, то точка пересечения $AB$ и $SK$ будет лежать как на прямой $AB$, так и на плоскости $(CC_1D_1D)$.

   Найдем точку пересечения прямых $AB$ и $SK$. Обозначим ее $X$. Обе прямые лежат в одной плоскости $(SAB)$, поэтому они пересекаются (в общем случае). Точка $X = AB \cap SK$ и есть искомая точка пересечения прямой с плоскостью.

Ответ: Искомая точка $X$ является точкой пересечения прямой $AB$ и прямой $SK$, где $S$ — точка пересечения продолжений образующих $CC_1$ и $DD_1$, а $K$ — точка пересечения прямых $CD$ и $AB_0$, где $B_0$ — точка пересечения прямой $SB$ с плоскостью нижнего основания.