Номер 10.12, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.12. Точка $O$ — центр большего основания усечённого конуса, точка $O_1$ — центр его меньшего основания, точка $O_2$ — середина отрезка $OO_1$. Площадь большего основания равна $4\pi \text{ см}^2$, а меньшего — $\pi \text{ см}^2$. Через точку $O_2$ проведена плоскость, перпендикулярная прямой $OO_1$. Найдите отношение площади боковой поверхности усечённого конуса с высотой $O_1O_2$ к площади боковой поверхности усечённого конуса с высотой $O_2O$.

Пусть $R$ — радиус большего основания усечённого конуса, а $r$ — радиус меньшего основания. Площадь основания вычисляется по формуле $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$.

1. Найдём радиусы оснований.
Площадь большего основания $S_б = 4\pi$ см². Следовательно, $\pi R^2 = 4\pi$, откуда $R^2 = 4$ и $R = 2$ см.
Площадь меньшего основания $S_м = \pi$ см². Следовательно, $\pi r^2 = \pi$, откуда $r^2 = 1$ и $r = 1$ см.

2. Определим параметры двух новых усечённых конусов.
Плоскость, проведённая через точку $O_2$ (середину высоты $OO_1$), делит исходный усечённый конус на два новых усечённых конуса с одинаковой высотой, равной половине высоты исходного конуса. Рассмотрим осевое сечение исходного усечённого конуса. Это равнобокая трапеция с основаниями $2R=4$ и $2r=2$. Прямая, проходящая через $O_2$ параллельно основаниям, является средней линией этой трапеции. Радиус сечения в точке $O_2$, обозначим его $r_2$, равен полусумме радиусов оснований $R$ и $r$:
$r_2 = \frac{R+r}{2} = \frac{2+1}{2} = 1.5$ см.

Таким образом, мы получили два усечённых конуса:

• Верхний усечённый конус (с высотой $O_1O_2$): радиусы оснований $r=1$ см и $r_2=1.5$ см.
• Нижний усечённый конус (с высотой $O_2O$): радиусы оснований $r_2=1.5$ см и $R=2$ см.

3. Найдём отношение площадей боковых поверхностей.
Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(R_1 + R_2)l$, где $R_1$ и $R_2$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей. Так как секущая плоскость делит высоту конуса пополам, она также делит пополам и образующую. Пусть образующая верхнего конуса равна $l_1$, а нижнего — $l_2$. Тогда $l_1 = l_2$.
Площадь боковой поверхности верхнего конуса (с высотой $O_1O_2$):
$S_1 = \pi(r + r_2)l_1 = \pi(1 + 1.5)l_1 = 2.5\pi l_1$.
Площадь боковой поверхности нижнего конуса (с высотой $O_2O$):
$S_2 = \pi(r_2 + R)l_2 = \pi(1.5 + 2)l_2 = 3.5\pi l_2$.
Найдём отношение этих площадей: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{2.5\pi l_1}{3.5\pi l_2}$
Поскольку $l_1 = l_2$, эти величины сокращаются: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{2.5}{3.5} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$