Номер 10.11, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.11. Площади оснований усечённого конуса равны 4 $\text{см}^2$ и 16 $\text{см}^2$. Через середину высоты усечённого конуса проведена плоскость, параллельная его основаниям. Найдите площадь образовавшегося сечения усечённого конуса.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади оснований усечённого конуса, а $S_x$ — площадь искомого сечения. Все сечения, параллельные основаниям конуса, являются кругами, и их площади соотносятся как квадраты их расстояний от вершины полного конуса, из которого был получен усечённый конус.

Обозначим радиусы оснований как $r_1$ и $r_2$, а радиус сечения как $r_x$. Тогда площади равны:

$S_1 = \pi r_1^2 = 4$ см²

$S_2 = \pi r_2^2 = 16$ см²

Отсюда можно найти квадратные корни из площадей, которые пропорциональны радиусам:

$\sqrt{S_1} = \sqrt{4} = 2$

$\sqrt{S_2} = \sqrt{16} = 4$

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое является равнобедренной трапецией. Радиус сечения, проходящего через середину высоты, является средним гармоническим радиусов оснований? Нет. Давайте воспользуемся свойством подобных фигур.

Дополним усечённый конус до полного конуса с вершиной $V$. Пусть $h_1$ — расстояние от вершины $V$ до меньшего основания, а $h_2$ — расстояние от вершины $V$ до большего основания. Высота усечённого конуса $H = h_2 - h_1$.

Для любого сечения конуса, параллельного основанию, справедливо, что корень квадратный из его площади линейно зависит от расстояния до вершины конуса. То есть, $\sqrt{S(h)} = k \cdot h$, где $h$ — расстояние от вершины, а $k$ — коэффициент пропорциональности.

Таким образом, мы имеем:

$\sqrt{S_1} = k \cdot h_1$

$\sqrt{S_2} = k \cdot h_2$

Сечение проведено через середину высоты усечённого конуса. Расстояние от этого сечения до вершины $V$ равно:

$h_x = h_1 + \frac{H}{2} = h_1 + \frac{h_2 - h_1}{2} = \frac{2h_1 + h_2 - h_1}{2} = \frac{h_1 + h_2}{2}$

Таким образом, расстояние до искомого сечения от вершины является средним арифметическим расстояний до оснований.

Для площади этого сечения $S_x$ можем записать:

$\sqrt{S_x} = k \cdot h_x = k \cdot \frac{h_1 + h_2}{2} = \frac{k h_1 + k h_2}{2}$

Подставляя известные соотношения для $\sqrt{S_1}$ и $\sqrt{S_2}$, получаем:

$\sqrt{S_x} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}$

Теперь подставим числовые значения:

$\sqrt{S_x} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Чтобы найти площадь сечения $S_x$, возведём полученное значение в квадрат:

$S_x = 3^2 = 9$ см²

Ответ: 9 см².