Номер 10.9, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.9. Высоту конуса разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели плоскости, параллельные основанию конуса. Найдите площадь наибольшего из образовавшихся сечений конуса, если площадь его основания равна $S$.

Обозначим высоту исходного конуса через $H$, а радиус его основания через $R$. Площадь основания конуса $S$ задана по условию и равна $S = \pi R^2$.

Высоту конуса разделили на 4 равных отрезка, следовательно, на высоте есть три точки деления. Через эти точки проведены плоскости, параллельные основанию конуса. Эти плоскости образуют в конусе три сечения, которые являются кругами. Расстояния от вершины конуса до этих сечений (считая от вершины) будут равны $h_1 = \frac{1}{4}H$, $h_2 = \frac{2}{4}H = \frac{1}{2}H$ и $h_3 = \frac{3}{4}H$.

Радиус кругового сечения конуса увеличивается по мере приближения к основанию. Следовательно, наибольшим из образовавшихся сечений будет то, которое находится дальше всего от вершины и ближе всего к основанию, то есть сечение на расстоянии $h_3 = \frac{3}{4}H$ от вершины.

Конус, отсекаемый плоскостью, параллельной основанию, подобен исходному конусу. Отношение площадей подобных фигур (в данном случае, площади сечения и площади основания) равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ малого конуса (соответствующего наибольшему сечению) к исходному конусу равен отношению их высот.

Высота отсеченного конуса, основанием которого является наибольшее сечение, равна $h_3 = \frac{3}{4}H$. Найдем коэффициент подобия: $k = \frac{h_3}{H} = \frac{\frac{3}{4}H}{H} = \frac{3}{4}$

Пусть $S_{max}$ — площадь наибольшего сечения. Отношение площади этого сечения к площади основания $S$ равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{max}}{S} = k^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$

Из этого соотношения выразим искомую площадь $S_{max}$: $S_{max} = \frac{9}{16}S$

Ответ: $\frac{9}{16}S$