Страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.2. Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной его высоте, равна $12\pi$ см$^2$. В каком отношении плоскость сечения делит высоту конуса, считая от его вершины, если радиус основания равен $3\sqrt{3}$ см?

Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его высоте, является кругом. Пусть $r$ — радиус этого круга (сечения), а $S_{сеч}$ — его площадь. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

По условию задачи дано, что площадь сечения равна $12\pi$ см². Используя эту информацию, найдем радиус сечения $r$:
$S_{сеч} = \pi r^2 = 12\pi$
$r^2 = 12$
$r = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Плоскость сечения отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Обозначим высоту и радиус основания исходного (большого) конуса как $H$ и $R$ соответственно, а высоту и радиус основания меньшего (отсеченного) конуса как $h$ и $r$. Из условия нам известен радиус основания большого конуса: $R = 3\sqrt{3}$ см.

В подобных конусах отношение высот равно отношению радиусов оснований. Это следует из подобия их осевых сечений, которые являются равнобедренными треугольниками. Таким образом, имеем соотношение:

$\frac{h}{H} = \frac{r}{R}$

Подставим известные значения радиусов $r = 2\sqrt{3}$ см и $R = 3\sqrt{3}$ см в эту пропорцию:

$\frac{h}{H} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}$

Это соотношение показывает, что плоскость сечения находится на расстоянии $h = \frac{2}{3}H$ от вершины конуса.

Вопрос задачи состоит в том, в каком отношении эта плоскость делит высоту конуса, считая от вершины. Высота $H$ делится на два отрезка: первый — от вершины до сечения, длиной $h$, и второй — от сечения до основания, длиной $H-h$.

Найдем длину второго отрезка:

$H - h = H - \frac{2}{3}H = \frac{1}{3}H$.

Теперь найдем искомое отношение длины верхнего отрезка к длине нижнего:

$\frac{h}{H-h} = \frac{\frac{2}{3}H}{\frac{1}{3}H} = \frac{2}{1}$.

Таким образом, плоскость сечения делит высоту конуса в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: 2:1.

10.3. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 1 см и 2 см, а образующая — 5 см.

10.3. Площадь боковой поверхности усечённого конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l$,
где $r_1$ и $r_2$ — это радиусы оснований, а $l$ — образующая.

По условию задачи нам даны следующие значения:
- радиус одного основания $r_1 = 1$ см;
- радиус другого основания $r_2 = 2$ см;
- образующая $l = 5$ см.

Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления:
$S_{бок} = \pi(1 + 2) \cdot 5 = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$ см².

Ответ: $15\pi$ см².

10.4. Найдите площадь полной поверхности усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 4 см и 6 см, а образующая — 3 см.

10.4.

Площадь полной поверхности усечённого конуса ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух его оснований: большего ($S_1$) и меньшего ($S_2$).

Формула для нахождения площади полной поверхности усечённого конуса:

$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$

где $S_1 = \pi R^2$ — площадь большего основания, $S_2 = \pi r^2$ — площадь меньшего основания, и $S_{бок} = \pi(R+r)l$ — площадь боковой поверхности. В этих формулах $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, а $l$ — длина образующей.

По условию задачи нам даны:

• Радиус большего основания: $R = 6$ см
• Радиус меньшего основания: $r = 4$ см
• Образующая: $l = 3$ см

1. Вычислим площадь большего основания ($S_1$):

$S_1 = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$ см$^2$.

2. Вычислим площадь меньшего основания ($S_2$):

$S_2 = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см$^2$.

3. Вычислим площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi(6+4) \cdot 3 = \pi \cdot 10 \cdot 3 = 30\pi$ см$^2$.

4. Найдём площадь полной поверхности, сложив полученные значения:

$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок} = 36\pi + 16\pi + 30\pi = (36 + 16 + 30)\pi = 82\pi$ см$^2$.

Ответ: $82\pi$ см$^2$.

10.5. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 8 см, а образующая — 13 см. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию, основаниями которой являются диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами — образующие конуса.

Обозначим радиусы оснований как $R$ и $r$, где $R=8$ см и $r=3$ см. Образующая $l = 13$ см.

1. Найдём основания трапеции.

Большее основание трапеции $a$ равно диаметру большего основания конуса:
$a = 2R = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Меньшее основание трапеции $b$ равно диаметру меньшего основания конуса:
$b = 2r = 2 \cdot 3 = 6$ см.

2. Найдём высоту трапеции.

Высота трапеции $h$ является также высотой усечённого конуса. Чтобы найти её, проведём из вершин меньшего основания перпендикуляры к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — это образующая конуса $l=13$ см;
• один катет — это высота трапеции $h$;
• второй катет — это разность радиусов оснований конуса: $R - r = 8 - 3 = 5$ см.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

$13^2 = h^2 + 5^2$

$169 = h^2 + 25$

$h^2 = 169 - 25$

$h^2 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Найдём площадь осевого сечения.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставим найденные значения:

$S = \frac{16+6}{2} \cdot 12 = \frac{22}{2} \cdot 12 = 11 \cdot 12 = 132$ см².

Ответ: 132 см².

10.6. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 12 см, а высота – 15 см. Найдите образующую усечённого конуса.

Для нахождения образующей усечённого конуса ($l$) воспользуемся его осевым сечением. Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Боковая сторона этой трапеции является образующей конуса.

В этой трапеции можно построить прямоугольный треугольник, где:
- гипотенузой будет образующая конуса $l$;
- одним катетом будет высота конуса $h$;
- вторым катетом будет разность радиусов оснований $(R - r)$.

По условию задачи нам даны:
- радиус большего основания $R = 12$ см;
- радиус меньшего основания $r = 4$ см;
- высота $h = 15$ см.

Связь между этими величинами описывается теоремой Пифагора:
$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Сначала вычислим разность радиусов:
$R - r = 12 - 4 = 8$ см

Теперь подставим известные значения в формулу:
$l^2 = 15^2 + 8^2$
$l^2 = 225 + 64$
$l^2 = 289$

Чтобы найти длину образующей $l$, извлечём квадратный корень:
$l = \sqrt{289}$
$l = 17$ см

Ответ: 17 см.

10.7. В трапеции $ABCD$ $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $\angle D = 45^\circ$, $AD = 7$ см, $CD = 2\sqrt{2}$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

При вращении прямоугольной трапеции $ABCD$ вокруг стороны $AB$, перпендикулярной основаниям, образуется усечённый конус. Основания трапеции $AD$ и $BC$ становятся радиусами оснований усечённого конуса, а боковая сторона $CD$ – его образующей.

Таким образом, мы имеем следующие параметры усечённого конуса:

• Радиус большего основания: $R = AD = 7$ см.
• Радиус меньшего основания: $r = BC$.
• Образующая: $l = CD = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R + r)l$

Для вычисления площади нам необходимо найти радиус меньшего основания $r = BC$.

Проведём высоту $CE$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как $AB \perp AD$ и $CE \perp AD$, то $ABCE$ – прямоугольник. Отсюда следует, что $AE = BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CED$ ($\angle CED = 90^\circ$). Нам известны гипотенуза $CD = 2\sqrt{2}$ см и угол $\angle D = 45^\circ$.

Найдём длину катета $ED$:

$ED = CD \cdot \cos(\angle D) = 2\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$ см.

Основание $AD$ состоит из двух отрезков: $AD = AE + ED$.

Мы знаем $AD = 7$ см и $ED = 2$ см. Можем найти $AE$:

$AE = AD - ED = 7 - 2 = 5$ см.

Так как $AE = BC$, то радиус меньшего основания $r = BC = 5$ см.

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления площади боковой поверхности усечённого конуса:

$R = 7$ см,

$r = 5$ см,

$l = 2\sqrt{2}$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$S_{бок} = \pi(7 + 5) \cdot 2\sqrt{2} = \pi \cdot 12 \cdot 2\sqrt{2} = 24\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

Ответ: $24\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

10.8. Дана трапеция $ABCD$ такая, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 6\sqrt{3}$ см, $BC = 2$ см, $\angle D = 60^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, полученного в результате вращения данной трапеции вокруг прямой $AB$.

При вращении данной трапеции $ABCD$ вокруг прямой $AB$ образуется усечённый конус. Осью вращения является высота трапеции $AB$, которая также является высотой $H$ усечённого конуса.

Параметры усечённого конуса:

• Высота $H = AB = 6\sqrt{3}$ см.
• Радиус меньшего (верхнего) основания $r_1$ равен длине стороны $BC$, то есть $r_1 = 2$ см.
• Радиус большего (нижнего) основания $r_2$ равен длине стороны $AD$.
• Образующая $l$ равна длине боковой стороны $CD$.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l$. Для нахождения площади нам нужно определить длины $AD$ и $CD$.

Проведём из точки $C$ высоту $CE$ на основание $AD$. Так как $BC \parallel AD$ и $AB \perp AD$, то $ABCE$ — прямоугольник. Отсюда следует, что $CE = AB = 6\sqrt{3}$ см и $AE = BC = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CED$, где $\angle CED = 90^\circ$. Нам известны катет $CE=6\sqrt{3}$ см и угол $\angle D = 60^\circ$.

Найдём длину второго катета $ED$ и гипотенузы $CD$:

Из определения тангенса угла: $\tan D = \frac{CE}{ED}$.$ED = \frac{CE}{\tan D} = \frac{6\sqrt{3}}{\tan 60^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ см.

Из определения синуса угла: $\sin D = \frac{CE}{CD}$.$CD = \frac{CE}{\sin D} = \frac{6\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 12$ см. Таким образом, образующая усечённого конуса $l = 12$ см.

Теперь найдём радиус большего основания $r_2$:$r_2 = AD = AE + ED = 2 + 6 = 8$ см.

Теперь у нас есть все необходимые значения для расчёта площади боковой поверхности усечённого конуса:$r_1 = 2$ см, $r_2 = 8$ см, $l = 12$ см.

$S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l = \pi(2 + 8) \cdot 12 = \pi \cdot 10 \cdot 12 = 120\pi$ см².

Ответ: $120\pi$ см².

10.9. Высоту конуса разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели плоскости, параллельные основанию конуса. Найдите площадь наибольшего из образовавшихся сечений конуса, если площадь его основания равна $S$.

Обозначим высоту исходного конуса через $H$, а радиус его основания через $R$. Площадь основания конуса $S$ задана по условию и равна $S = \pi R^2$.

Высоту конуса разделили на 4 равных отрезка, следовательно, на высоте есть три точки деления. Через эти точки проведены плоскости, параллельные основанию конуса. Эти плоскости образуют в конусе три сечения, которые являются кругами. Расстояния от вершины конуса до этих сечений (считая от вершины) будут равны $h_1 = \frac{1}{4}H$, $h_2 = \frac{2}{4}H = \frac{1}{2}H$ и $h_3 = \frac{3}{4}H$.

Радиус кругового сечения конуса увеличивается по мере приближения к основанию. Следовательно, наибольшим из образовавшихся сечений будет то, которое находится дальше всего от вершины и ближе всего к основанию, то есть сечение на расстоянии $h_3 = \frac{3}{4}H$ от вершины.

Конус, отсекаемый плоскостью, параллельной основанию, подобен исходному конусу. Отношение площадей подобных фигур (в данном случае, площади сечения и площади основания) равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ малого конуса (соответствующего наибольшему сечению) к исходному конусу равен отношению их высот.

Высота отсеченного конуса, основанием которого является наибольшее сечение, равна $h_3 = \frac{3}{4}H$. Найдем коэффициент подобия: $k = \frac{h_3}{H} = \frac{\frac{3}{4}H}{H} = \frac{3}{4}$

Пусть $S_{max}$ — площадь наибольшего сечения. Отношение площади этого сечения к площади основания $S$ равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{max}}{S} = k^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$

Из этого соотношения выразим искомую площадь $S_{max}$: $S_{max} = \frac{9}{16}S$

Ответ: $\frac{9}{16}S$

10.10. Высота конуса равна $h$. На каком расстоянии от вершины конуса следует провести плоскость, перпендикулярную высоте конуса, чтобы площадь образовавшегося сечения конуса была в 3 раза меньше площади его основания?

Пусть $h$ – высота исходного конуса, а $R$ – радиус его основания. Плоскость, проведенная перпендикулярно высоте, отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному.

Обозначим искомое расстояние от вершины до плоскости сечения как $x$. Это расстояние является высотой малого конуса. Пусть $r$ – это радиус сечения, которое является основанием малого конуса.

Площадь основания исходного конуса $S_{осн}$ равна $\pi R^2$. Площадь сечения $S_{сеч}$ равна $\pi r^2$.

Согласно условию задачи, площадь сечения должна быть в 3 раза меньше площади основания:

$S_{сеч} = \frac{S_{осн}}{3} \implies \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \frac{1}{3}$

Для подобных тел отношение площадей соответствующих поверхностей (в данном случае, оснований) равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия нашего малого конуса к большому равен отношению их высот, то есть $\frac{x}{h}$.

Следовательно, можем записать:

$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{x}{h}\right)^2$

Подставим в это уравнение известное нам отношение площадей:

$\frac{1}{3} = \left(\frac{x}{h}\right)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как $x$ и $h$ — положительные величины, обозначающие длину):

$\frac{x}{h} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем искомое расстояние $x$:

$x = \frac{h}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$x = \frac{h \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{h\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{h\sqrt{3}}{3}$

10.11. Площади оснований усечённого конуса равны 4 $\text{см}^2$ и 16 $\text{см}^2$. Через середину высоты усечённого конуса проведена плоскость, параллельная его основаниям. Найдите площадь образовавшегося сечения усечённого конуса.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади оснований усечённого конуса, а $S_x$ — площадь искомого сечения. Все сечения, параллельные основаниям конуса, являются кругами, и их площади соотносятся как квадраты их расстояний от вершины полного конуса, из которого был получен усечённый конус.

Обозначим радиусы оснований как $r_1$ и $r_2$, а радиус сечения как $r_x$. Тогда площади равны:

$S_1 = \pi r_1^2 = 4$ см²

$S_2 = \pi r_2^2 = 16$ см²

Отсюда можно найти квадратные корни из площадей, которые пропорциональны радиусам:

$\sqrt{S_1} = \sqrt{4} = 2$

$\sqrt{S_2} = \sqrt{16} = 4$

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое является равнобедренной трапецией. Радиус сечения, проходящего через середину высоты, является средним гармоническим радиусов оснований? Нет. Давайте воспользуемся свойством подобных фигур.

Дополним усечённый конус до полного конуса с вершиной $V$. Пусть $h_1$ — расстояние от вершины $V$ до меньшего основания, а $h_2$ — расстояние от вершины $V$ до большего основания. Высота усечённого конуса $H = h_2 - h_1$.

Для любого сечения конуса, параллельного основанию, справедливо, что корень квадратный из его площади линейно зависит от расстояния до вершины конуса. То есть, $\sqrt{S(h)} = k \cdot h$, где $h$ — расстояние от вершины, а $k$ — коэффициент пропорциональности.

Таким образом, мы имеем:

$\sqrt{S_1} = k \cdot h_1$

$\sqrt{S_2} = k \cdot h_2$

Сечение проведено через середину высоты усечённого конуса. Расстояние от этого сечения до вершины $V$ равно:

$h_x = h_1 + \frac{H}{2} = h_1 + \frac{h_2 - h_1}{2} = \frac{2h_1 + h_2 - h_1}{2} = \frac{h_1 + h_2}{2}$

Таким образом, расстояние до искомого сечения от вершины является средним арифметическим расстояний до оснований.

Для площади этого сечения $S_x$ можем записать:

$\sqrt{S_x} = k \cdot h_x = k \cdot \frac{h_1 + h_2}{2} = \frac{k h_1 + k h_2}{2}$

Подставляя известные соотношения для $\sqrt{S_1}$ и $\sqrt{S_2}$, получаем:

$\sqrt{S_x} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}$

Теперь подставим числовые значения:

$\sqrt{S_x} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Чтобы найти площадь сечения $S_x$, возведём полученное значение в квадрат:

$S_x = 3^2 = 9$ см²

Ответ: 9 см².

10.12. Точка $O$ — центр большего основания усечённого конуса, точка $O_1$ — центр его меньшего основания, точка $O_2$ — середина отрезка $OO_1$. Площадь большего основания равна $4\pi \text{ см}^2$, а меньшего — $\pi \text{ см}^2$. Через точку $O_2$ проведена плоскость, перпендикулярная прямой $OO_1$. Найдите отношение площади боковой поверхности усечённого конуса с высотой $O_1O_2$ к площади боковой поверхности усечённого конуса с высотой $O_2O$.

Пусть $R$ — радиус большего основания усечённого конуса, а $r$ — радиус меньшего основания. Площадь основания вычисляется по формуле $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$.

1. Найдём радиусы оснований.
Площадь большего основания $S_б = 4\pi$ см². Следовательно, $\pi R^2 = 4\pi$, откуда $R^2 = 4$ и $R = 2$ см.
Площадь меньшего основания $S_м = \pi$ см². Следовательно, $\pi r^2 = \pi$, откуда $r^2 = 1$ и $r = 1$ см.

2. Определим параметры двух новых усечённых конусов.
Плоскость, проведённая через точку $O_2$ (середину высоты $OO_1$), делит исходный усечённый конус на два новых усечённых конуса с одинаковой высотой, равной половине высоты исходного конуса. Рассмотрим осевое сечение исходного усечённого конуса. Это равнобокая трапеция с основаниями $2R=4$ и $2r=2$. Прямая, проходящая через $O_2$ параллельно основаниям, является средней линией этой трапеции. Радиус сечения в точке $O_2$, обозначим его $r_2$, равен полусумме радиусов оснований $R$ и $r$:
$r_2 = \frac{R+r}{2} = \frac{2+1}{2} = 1.5$ см.

Таким образом, мы получили два усечённых конуса:

• Верхний усечённый конус (с высотой $O_1O_2$): радиусы оснований $r=1$ см и $r_2=1.5$ см.
• Нижний усечённый конус (с высотой $O_2O$): радиусы оснований $r_2=1.5$ см и $R=2$ см.

3. Найдём отношение площадей боковых поверхностей.
Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(R_1 + R_2)l$, где $R_1$ и $R_2$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей. Так как секущая плоскость делит высоту конуса пополам, она также делит пополам и образующую. Пусть образующая верхнего конуса равна $l_1$, а нижнего — $l_2$. Тогда $l_1 = l_2$.
Площадь боковой поверхности верхнего конуса (с высотой $O_1O_2$):
$S_1 = \pi(r + r_2)l_1 = \pi(1 + 1.5)l_1 = 2.5\pi l_1$.
Площадь боковой поверхности нижнего конуса (с высотой $O_2O$):
$S_2 = \pi(r_2 + R)l_2 = \pi(1.5 + 2)l_2 = 3.5\pi l_2$.
Найдём отношение этих площадей: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{2.5\pi l_1}{3.5\pi l_2}$
Поскольку $l_1 = l_2$, эти величины сокращаются: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{2.5}{3.5} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$