Страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют боковой поверхностью усечённого конуса? образующей усечённого конуса? осью усечённого конуса? высотой усечённого конуса?

2. Что называют осевым сечением усечённого конуса?

3. Что принимают за площадь боковой поверхности усечённого конуса?

4. По какой формуле вычисляют площадь боковой поверхности усечённого конуса?

1. Что называют боковой поверхностью усечённого конуса? образующей усечённого конуса? осью усечённого конуса? высотой усечённого конуса?

Усечённый конус — это тело вращения, получаемое при вращении прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям.
- Боковой поверхностью усечённого конуса называют поверхность, образованную вращением боковой стороны трапеции, которая не перпендикулярна основаниям. Это криволинейная поверхность, соединяющая два основания конуса.
- Образующей усечённого конуса называют отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. Все образующие усечённого конуса имеют одинаковую длину, которая обозначается как $l$. Это та самая боковая сторона трапеции, вращением которой образуется боковая поверхность.
- Осью усечённого конуса называют прямую, проходящую через центры его оснований (верхнего и нижнего).
- Высотой усечённого конуса называют перпендикуляр, опущенный из центра одного основания на плоскость другого основания. Длина этого перпендикуляра, обозначаемая как $h$, является расстоянием между основаниями.
Ответ: Боковая поверхность — это поверхность, полученная вращением боковой стороны прямоугольной трапеции. Образующая — это отрезок, соединяющий окружности оснований. Ось — прямая, проходящая через центры оснований. Высота — расстояние между плоскостями оснований.

2. Что называют осевым сечением усечённого конуса?

Осевым сечением усечённого конуса называют сечение, проходящее через его ось. Такое сечение всегда представляет собой равнобедренную трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований усечённого конуса, а боковые стороны равны его образующим.
Ответ: Осевым сечением усечённого конуса называют равнобедренную трапецию, которая образуется при пересечении конуса плоскостью, проходящей через его ось.

3. Что принимают за площадь боковой поверхности усечённого конуса?

За площадь боковой поверхности усечённого конуса принимают площадь её развёртки. Развёртка боковой поверхности усечённого конуса представляет собой часть кругового кольца. Также эту площадь можно определить как предел площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды, вписанной в конус (или описанной около него), когда число сторон оснований пирамиды неограниченно возрастает.
Ответ: За площадь боковой поверхности усечённого конуса принимается площадь её развёртки.

4. По какой формуле вычисляют площадь боковой поверхности усечённого конуса?

Площадь боковой поверхности усечённого конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле, которая является произведением полусуммы длин окружностей его оснований на длину образующей. Если радиусы оснований равны $R$ и $r$, а длина образующей — $l$, то формула имеет вид:
$S_{бок} = \pi(R + r)l$
Ответ: Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляют по формуле $S_{бок} = \pi(R + r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

10.1. Точка $M$ — вершина конуса, точка $O$ — центр его основания. Радиус основания конуса равен 18 см. На отрезке $MO$ отмечена точка $K$ так, что $MK : KO = 4 : 5$. Через точку $K$ проведена плоскость, параллельная основанию конуса. Найдите площадь образовавшегося сечения конуса.

Поскольку плоскость сечения параллельна основанию конуса, то сечение является кругом. Эта плоскость отсекает от исходного конуса меньший конус с вершиной $M$, который подобен исходному конусу.

Пусть $H = MO$ — высота исходного конуса, а $R$ — радиус его основания. По условию $R = 18$ см. Пусть $h = MK$ — высота малого (отсеченного) конуса, а $r$ — радиус его основания (то есть радиус сечения).

Отношение высот подобных конусов равно коэффициенту подобия $k$. Также этому коэффициенту равно и отношение радиусов их оснований: $k = \frac{h}{H} = \frac{r}{R}$

Из условия известно, что точка $K$ делит высоту $MO$ в отношении $MK : KO = 4 : 5$. Это значит, что отрезок $MK$ составляет 4 части, а отрезок $KO$ — 5 частей. Вся высота $MO$ состоит из $4 + 5 = 9$ таких частей. Таким образом, отношение высоты малого конуса $MK$ к высоте большого конуса $MO$ равно: $\frac{h}{H} = \frac{MK}{MO} = \frac{4}{4+5} = \frac{4}{9}$

Следовательно, коэффициент подобия конусов $k = \frac{4}{9}$.

Теперь найдем радиус сечения $r$: $\frac{r}{R} = k \Rightarrow r = R \cdot k$ $r = 18 \cdot \frac{4}{9} = \frac{18 \cdot 4}{9} = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Площадь образовавшегося сечения $S_{сеч}$ — это площадь круга с радиусом $r = 8$ см. Вычислим ее по формуле $S = \pi r^2$: $S_{сеч} = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$ см².

Ответ: $64\pi$ см².