Страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.23. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен 5 см. Найдите центральный угол этого сектора, если высота конуса равна 4 см.

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $L$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

По условию задачи, радиус сектора, а значит и образующая конуса, равен $L = 5$ см. Высота конуса $H = 4$ см.

Образующая конуса $L$, его высота $H$ и радиус основания $r$ связаны соотношением теоремы Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза: $L^2 = H^2 + r^2$

Найдем радиус основания конуса $r$: $r^2 = L^2 - H^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$ $r = \sqrt{9} = 3$ см.

Длина дуги сектора $C$ равна длине окружности основания конуса: $C = 2\pi r = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$ см.

Центральный угол сектора $\alpha$ можно найти из отношения длины дуги сектора $C$ к длине окружности с радиусом $L$ (которая равна $2\pi L$), что равносильно отношению радиуса основания конуса $r$ к его образующей $L$: $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{C}{2\pi L} = \frac{2\pi r}{2\pi L} = \frac{r}{L}$

Подставим известные значения $r=3$ см и $L=5$ см: $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{3}{5}$

Отсюда находим угол $\alpha$: $\alpha = \frac{3}{5} \cdot 360^\circ = 3 \cdot 72^\circ = 216^\circ$.

Ответ: $216^\circ$.

9.24. Из круга вырезали сектор, представляющий собой четверть круга. Из этого сектора и из оставшейся части круга изготовили боковые поверхности двух конусов. Найдите отношение высот конусов с этими боковыми поверхностями.

Пусть $R$ — радиус исходного круга. При изготовлении боковой поверхности конуса из сектора круга радиус сектора становится образующей конуса. Таким образом, для обоих конусов образующая $l$ будет равна $R$.

1. Найдем параметры первого конуса, изготовленного из сектора, составляющего четверть круга.

Длина дуги этого сектора $L_1$ равна четверти длины окружности исходного круга:$L_1 = \frac{1}{4} \cdot 2\pi R = \frac{\pi R}{2}$.

Эта длина дуги становится длиной окружности основания первого конуса. Пусть радиус основания первого конуса равен $r_1$. Тогда:$2\pi r_1 = L_1 = \frac{\pi R}{2}$. Отсюда находим $r_1$:$r_1 = \frac{\pi R}{2 \cdot 2\pi} = \frac{R}{4}$.

Высота конуса $h_1$, радиус его основания $r_1$ и образующая $l_1$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $l_1^2 = h_1^2 + r_1^2$. Так как $l_1 = R$, получаем:$R^2 = h_1^2 + (\frac{R}{4})^2$.$h_1^2 = R^2 - \frac{R^2}{16} = \frac{16R^2 - R^2}{16} = \frac{15R^2}{16}$.$h_1 = \sqrt{\frac{15R^2}{16}} = \frac{R\sqrt{15}}{4}$.

2. Найдем параметры второго конуса, изготовленного из оставшейся части круга.

Оставшаяся часть круга составляет $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ от всего круга. Длина дуги этого сектора $L_2$:$L_2 = \frac{3}{4} \cdot 2\pi R = \frac{3\pi R}{2}$.

Эта длина дуги становится длиной окружности основания второго конуса. Пусть радиус основания второго конуса равен $r_2$. Тогда:$2\pi r_2 = L_2 = \frac{3\pi R}{2}$. Отсюда находим $r_2$:$r_2 = \frac{3\pi R}{2 \cdot 2\pi} = \frac{3R}{4}$.

Аналогично первому конусу, найдем высоту $h_2$ по теореме Пифагора, зная, что образующая $l_2 = R$:$R^2 = h_2^2 + (\frac{3R}{4})^2$.$h_2^2 = R^2 - \frac{9R^2}{16} = \frac{16R^2 - 9R^2}{16} = \frac{7R^2}{16}$.$h_2 = \sqrt{\frac{7R^2}{16}} = \frac{R\sqrt{7}}{4}$.

3. Найдем отношение высот конусов.

Найдем отношение высоты первого конуса (из четверти круга) к высоте второго конуса (из оставшейся части):$\frac{h_1}{h_2} = \frac{\frac{R\sqrt{15}}{4}}{\frac{R\sqrt{7}}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{15}{7}}$.

Отношение высоты второго конуса к высоте первого будет обратным:$\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{7}{15}}$.

В задаче не указан порядок, в котором нужно брать отношение, поэтому возможны оба варианта. Обычно подразумевается отношение в том порядке, в котором объекты упоминаются в условии.

Ответ: $\sqrt{\frac{15}{7}}$ или $\sqrt{\frac{7}{15}}$.

9.25. Через две образующие конуса проведена плоскость, образующая с плоскостью основания конуса угол $\alpha$. Расстояние от центра основания конуса до этой плоскости равно $a$, а угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите радиус основания конуса.

Введем обозначения. Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, $R$ — искомый радиус основания, а $H=SO$ — высота конуса. Пусть секущая плоскость проходит через образующие $SA$ и $SB$, а линия ее пересечения с плоскостью основания — хорда $AB$.

Угол $\beta$ между образующей и плоскостью основания — это угол между самой образующей (например, $SA$) и ее проекцией на эту плоскость (радиусом $OA$). Таким образом, в прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$), угол $\angle SAO = \beta$. Из этого треугольника мы можем выразить высоту конуса $H$ через радиус $R$:$H = SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) = R \tan(\beta)$.

Угол $\alpha$ между секущей плоскостью ($SAB$) и плоскостью основания является двугранным углом. Для его измерения построим соответствующий линейный угол. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. Тогда $OM \perp AB$ (как отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды) и $SM \perp AB$ (так как $\triangle SAB$ равнобедренный с основанием $AB$, его медиана $SM$ является и высотой). Следовательно, $\angle SMO$ — линейный угол данного двугранного угла, и по условию $\angle SMO = \alpha$.

Расстояние от центра основания $O$ до секущей плоскости $SAB$ равно $a$. Это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на плоскость $SAB$. Так как плоскость $SOM$ перпендикулярна прямой $AB$ (линии пересечения плоскостей), то перпендикуляр $OH$ будет лежать в плоскости $SOM$. Таким образом, $OH$ является высотой прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ ($\angle SOM = 90^\circ$), проведенной к гипотенузе $SM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHM$, в котором гипотенуза $OM$, катет $OH=a$ и $\angle SMO = \alpha$. Из него находим $OM$:$ \sin(\alpha) = \frac{OH}{OM} = \frac{a}{OM} \implies OM = \frac{a}{\sin(\alpha)} $.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ выразим высоту конуса $H=SO$ через $OM$ и угол $\alpha$:$ H = SO = OM \cdot \tan(\angle SMO) = OM \tan(\alpha) $.

Подставим в это равенство найденное ранее выражение для $OM$:$ H = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \tan(\alpha) = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{\cos(\alpha)} $.

Мы получили два выражения для высоты конуса $H$:1. $H = R \tan(\beta)$2. $H = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Приравняв правые части этих равенств, получим уравнение для нахождения $R$:$ R \tan(\beta) = \frac{a}{\cos(\alpha)} $.

Из этого уравнения выражаем искомый радиус основания $R$:$ R = \frac{a}{\cos(\alpha) \tan(\beta)} $.

Ответ: $ \frac{a}{\cos(\alpha) \tan(\beta)} $.

9.26. Отрезок $MO$ — высота конуса, $MO = 4\sqrt{2}$ см, отрезки $MA$ и $MB$ — его образующие. Расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно 2 см. Найдите расстояние от точки $O$ до плоскости $AMB$.

Пусть $M$ — вершина конуса, а $O$ — центр его основания. Отрезок $MO$ является высотой конуса, и по условию его длина $MO = 4\sqrt{2}$ см. $MA$ и $MB$ — образующие конуса, а точки $A$ и $B$ лежат на окружности основания.

Расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $H$. Таким образом, $OH \perp AB$ и $OH = 2$ см. Точка $H$ лежит на отрезке $AB$, так как $O$ находится внутри окружности, а $A$ и $B$ на ней.

Рассмотрим треугольник $MOH$. Так как $MO$ — высота конуса, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, перпендикулярна и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $MO \perp OH$. Это означает, что треугольник $MOH$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $O$.

Искомое расстояние от точки $O$ до плоскости $AMB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на эту плоскость. Обозначим этот перпендикуляр $OK$, где $K$ — точка на плоскости $AMB$.

Рассмотрим прямую $AB$. По построению, $OH \perp AB$. Также, так как $MO$ перпендикулярна всей плоскости основания, то $MO \perp AB$. Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $MO$ и $OH$, лежащим в плоскости $MOH$, то прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $MOH$.

Так как плоскость $AMB$ проходит через прямую $AB$, которая перпендикулярна плоскости $MOH$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $AMB$ перпендикулярна плоскости $MOH$.

Линией пересечения перпендикулярных плоскостей $AMB$ и $MOH$ является прямая $MH$. Перпендикуляр $OK$ из точки $O$ к плоскости $AMB$ должен лежать в плоскости $MOH$ и быть перпендикулярным линии пересечения $MH$. Таким образом, $OK$ — это высота прямоугольного треугольника $MOH$, проведенная из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $MH$.

Для нахождения длины $OK$ сначала найдем длину гипотенузы $MH$ по теореме Пифагора в треугольнике $MOH$:$MH = \sqrt{MO^2 + OH^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{16 \cdot 2 + 4} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6$ см.

Длину высоты $OK$ в прямоугольном треугольнике можно найти, приравняв выражения для его площади:$S_{\triangle MOH} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot MH \cdot OK$$MO \cdot OH = MH \cdot OK$$OK = \frac{MO \cdot OH}{MH}$

Подставим известные значения:$OK = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ см.

9.27. Через две образующие конуса проведено сечение, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен $\alpha$. Угол между образующей и плоскостью основания равен $\beta$, а радиус основания конуса равен $R$. Найдите площадь этого сечения.

Пусть дан конус с вершиной S, центром основания O и радиусом основания R. Сечение проходит через две образующие SA и SB, где A и B — точки на окружности основания. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник SAB.

1. Рассмотрим осевое сечение и основные соотношения.

Угол между образующей, например SA, и плоскостью основания — это угол между SA и ее проекцией на основание, то есть радиусом OA. По условию, $ \angle SAO = \beta $. Треугольник SOA прямоугольный, так как SO — высота конуса. Из этого треугольника можем выразить высоту конуса H = SO и длину образующей L = SA:

$ H = SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) = R \tan \beta $

$ L = SA = \frac{OA}{\cos(\angle SAO)} = \frac{R}{\cos \beta} $

2. Рассмотрим плоскость сечения.

Угол между плоскостью сечения (SAB) и плоскостью основания равен $ \alpha $. Этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. Чтобы его построить, проведем высоту SH в треугольнике SAB к основанию AB. Затем из центра основания O проведем перпендикуляр OH к хорде AB. Так как треугольник OAB равнобедренный (OA = OB = R), OH также является его медианой. Угол $ \angle SHO $ и будет искомым линейным углом, то есть $ \angle SHO = \alpha $.

3. Найдем элементы сечения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOH (SO — высота конуса, поэтому $ SO \perp OH $). Из него найдем высоту сечения SH и длину отрезка OH:

Из $ \sin(\angle SHO) = \frac{SO}{SH} $, получаем высоту сечения:

$ SH = \frac{SO}{\sin \alpha} = \frac{R \tan \beta}{\sin \alpha} $

Из $ \tan(\angle SHO) = \frac{SO}{OH} $, получаем расстояние от центра до хорды:

$ OH = \frac{SO}{\tan \alpha} = \frac{R \tan \beta}{\tan \alpha} = R \tan \beta \cot \alpha $

4. Найдем основание сечения.

Рассмотрим треугольник OAB в основании конуса. Он равнобедренный, OH — его высота. Из прямоугольного треугольника OHA по теореме Пифагора найдем половину хорды AB:

$ AH = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \sqrt{R^2 - (R \tan \beta \cot \alpha)^2} = R\sqrt{1 - \tan^2 \beta \cot^2 \alpha} $

Длина всего основания сечения AB равна:

$ AB = 2 \cdot AH = 2R\sqrt{1 - \tan^2 \beta \cot^2 \alpha} $

5. Вычислим площадь сечения.

Площадь треугольника SAB вычисляется по формуле: $ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} $.

$ S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SH $

Подставим найденные значения AB и SH:

$ S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot \left( 2R\sqrt{1 - \tan^2 \beta \cot^2 \alpha} \right) \cdot \left( \frac{R \tan \beta}{\sin \alpha} \right) $

$ S_{SAB} = \frac{R^2 \tan \beta}{\sin \alpha} \sqrt{1 - \tan^2 \beta \cot^2 \alpha} $

Для того чтобы задача имела решение, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ 1 - \tan^2 \beta \cot^2 \alpha \ge 0 $, что означает $ \tan^2 \alpha \ge \tan^2 \beta $. Так как углы $ \alpha $ и $ \beta $ острые, это условие равносильно $ \alpha \ge \beta $.

Ответ: $ \frac{R^2 \tan \beta}{\sin \alpha} \sqrt{1 - \tan^2 \beta \cot^2 \alpha} $

9.28. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $α$, проведено сечение. Угол между плоскостью этого сечения и плоскостью основания конуса равен $β$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна $H$.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, а $SO = H$ — высота конуса. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник $ASB$, где $SA$ и $SB$ — образующие конуса ($L$), а $AB$ — хорда в основании. По условию, угол между образующими $\angle ASB = \alpha$.

Проведем высоту $SM$ в треугольнике $ASB$. Так как треугольник $ASB$ равнобедренный, $SM$ также является его медианой и биссектрисой. Следовательно, $M$ — середина хорды $AB$, и $\angle ASM = \alpha/2$.

Соединим точку $M$ с центром основания $O$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ (где $OA=OB=R$ — радиус основания) отрезок $OM$ является медианой, а значит, и высотой. Таким образом, $OM \perp AB$.

Угол между плоскостью сечения $(ASB)$ и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла с ребром $AB$. Так как $SM \perp AB$ и $OM \perp AB$, то искомый угол равен $\angle SMO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). В нем катет $SO=H$ и угол $\angle SMO = \beta$. Из этого треугольника можем найти длину высоты сечения $SM$:
$\sin \beta = \frac{SO}{SM} = \frac{H}{SM} \implies SM = \frac{H}{\sin \beta}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SAM$ (угол $\angle SMA = 90^\circ$). В нем известен катет $SM$ и угол $\angle ASM = \alpha/2$. Найдем длину образующей конуса $L=SA$:
$\cos(\alpha/2) = \frac{SM}{SA} = \frac{SM}{L} \implies L = \frac{SM}{\cos(\alpha/2)}$.
Подставив выражение для $SM$, получим:
$L = \frac{H/\sin \beta}{\cos(\alpha/2)} = \frac{H}{\sin \beta \cos(\alpha/2)}$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$. Нам необходимо найти радиус основания $R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, образованный высотой конуса $H$, радиусом $R$ и образующей $L$. По теореме Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$, откуда $R^2 = L^2 - H^2$.
Подставим найденное выражение для $L$:
$R^2 = \left(\frac{H}{\sin \beta \cos(\alpha/2)}\right)^2 - H^2 = H^2 \left(\frac{1}{\sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)} - 1\right) = H^2 \frac{1 - \sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}{\sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}$.
Отсюда $R = \frac{H \sqrt{1 - \sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}}{\sin \beta \cos(\alpha/2)}$.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \left(\frac{H \sqrt{1 - \sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}}{\sin \beta \cos(\alpha/2)}\right) \cdot \left(\frac{H}{\sin \beta \cos(\alpha/2)}\right)$.
$S_{бок} = \frac{\pi H^2 \sqrt{1 - \sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}}{\sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}$.

Ответ: $\frac{\pi H^2 \sqrt{1 - \sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}}{\sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}$.

9.29. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если известно, что на его поверхности можно провести три попарно перпендикулярные образующие.

Пусть вершина конуса находится в начале координат $O$, а $L$ — длина его образующей. По условию, на поверхности конуса существуют три попарно перпендикулярные образующие. Обозначим их векторами $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$. Так как эти векторы попарно перпендикулярны, мы можем направить оси декартовой системы координат вдоль них. В этой системе координат точки $A$, $B$ и $C$ будут иметь координаты $A(L, 0, 0)$, $B(0, L, 0)$ и $C(0, 0, L)$.

Обозначим искомый угол при вершине осевого сечения конуса как $\theta$. Ось конуса является биссектрисой этого угла. Угол между осью конуса и любой его образующей постоянен и равен $\alpha = \frac{\theta}{2}$.

Пусть $\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)$ — единичный вектор, направленный вдоль оси конуса. По определению, угол между вектором образующей и вектором оси конуса равен $\alpha$. Скалярное произведение вектора образующей на единичный вектор оси равно косинусу угла между ними, умноженному на длину образующей:

$\vec{OA} \cdot \vec{u} = |\vec{OA}| \cdot |\vec{u}| \cdot \cos\alpha = L \cdot 1 \cdot \cos\alpha = L\cos\alpha$

С другой стороны, в выбранной системе координат:

$\vec{OA} \cdot \vec{u} = (L, 0, 0) \cdot (u_x, u_y, u_z) = L u_x$

Приравнивая два выражения, получаем $L u_x = L \cos\alpha$, откуда $u_x = \cos\alpha$.

Аналогично для двух других образующих:

$u_y = \cos\alpha$

$u_z = \cos\alpha$

Поскольку $\vec{u}$ — единичный вектор, сумма квадратов его координат равна единице:

$u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 = 1$

Подставим найденные выражения для координат:

$\cos^2\alpha + \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

$3\cos^2\alpha = 1$

$\cos^2\alpha = \frac{1}{3}$

Нам нужно найти угол $\theta = 2\alpha$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

$\cos\theta = \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$

Подставляем найденное значение $\cos^2\alpha$:

$\cos\theta = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$

Отсюда искомый угол равен:

$\theta = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$

Ответ: $\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$.

9.30. Отрезки $MA$, $MB$ и $MC$ — образующие конуса, причём $MA \perp MB$, $MB \perp MC$, $MA \perp MC$, $MA=3$ см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Пусть $M$ — вершина конуса, а точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности его основания. Отрезки $MA$, $MB$ и $MC$ являются образующими конуса.

По определению конуса, все его образующие равны. Обозначим длину образующей как $l$. Из условия задачи нам дано, что $MA = 3$ см, следовательно, $l = MA = MB = MC = 3$ см.

Также по условию образующие попарно перпендикулярны: $MA \perp MB$, $MB \perp MC$ и $MA \perp MC$. Это означает, что треугольники $\triangle MAB$, $\triangle MBC$ и $\triangle MAC$ являются прямоугольными и равнобедренными, с катетами, равными длине образующей $l = 3$ см.

Найдем длины отрезков $AB$, $BC$ и $AC$, которые являются сторонами треугольника, лежащего в основании конуса. Применим теорему Пифагора к каждому из прямоугольных треугольников:

В $\triangle MAB$: $AB^2 = MA^2 + MB^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. Отсюда $AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

В $\triangle MBC$: $BC^2 = MB^2 + MC^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. Отсюда $BC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

В $\triangle MAC$: $AC^2 = MA^2 + MC^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. Отсюда $AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

Поскольку $AB = BC = AC = 3\sqrt{2}$ см, треугольник $ABC$ является равносторонним. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса, значит, эта окружность является описанной около треугольника $ABC$.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. В нашем случае $a = 3\sqrt{2}$ см.

$R = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$ см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности конуса. Формула для площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R l$.

Подставим найденные значения $R = \sqrt{6}$ см и $l = 3$ см:

$S_{бок} = \pi \cdot \sqrt{6} \cdot 3 = 3\pi\sqrt{6}$ см².

Ответ: $3\pi\sqrt{6}$ см².

9.31. Отрезок $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$, параллельная стороне $AC$, $AB = 15$ см, $AC = 14$ см, $BC = 13$ см. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $MK$. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Для нахождения площади поверхности тела вращения необходимо вычислить площади поверхностей, образуемых вращением каждой из трех сторон треугольника ABC вокруг прямой MK, и затем сложить полученные значения.

1. Нахождение высоты треугольника и радиуса вращения

По условию, MK — средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AC. Это означает, что ось вращения (прямая MK) параллельна стороне AC. Расстояние от вершины B до прямой MK равно расстоянию от любой точки стороны AC до прямой MK. Это расстояние, обозначим его $r$, равно половине высоты треугольника $h_B$, проведенной из вершины B к стороне AC.

Для нахождения высоты $h_B$ сначала вычислим площадь треугольника ABC по формуле Герона. Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{15 + 13 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Площадь треугольника $S_{ABC}$ равна:

$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{21(21-15)(21-13)(21-14)}$

$S_{ABC} = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2^3) \cdot 7} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Площадь треугольника также можно выразить через основание AC и высоту $h_B$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$

Подставим известные значения:

$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h_B$

$84 = 7 \cdot h_B$

$h_B = \frac{84}{7} = 12$ см.

Теперь можем найти радиус вращения $r$, который является расстоянием от вершин A, C и B до оси вращения MK:

$r = \frac{h_B}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Расчет площади поверхности, образованной вращением каждой стороны

Вращение стороны AC:

Сторона AC параллельна оси вращения MK. При вращении отрезка, параллельного оси, образуется боковая поверхность цилиндра. Высота этого цилиндра равна длине отрезка $AC = 14$ см, а радиус основания равен расстоянию между отрезком и осью, то есть $r = 6$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{AC}$ вычисляется по формуле:

$S_{AC} = 2\pi r l = 2\pi \cdot 6 \cdot 14 = 168\pi$ см².

Вращение стороны AB:

Поскольку MK — средняя линия, точка M является серединой стороны AB и лежит на оси вращения. Таким образом, при вращении отрезка AB образуется поверхность, состоящая из боковых поверхностей двух одинаковых конусов с общей вершиной в точке M. Образующая каждого конуса равна половине длины AB: $l_{AM} = l_{MB} = \frac{AB}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$ см. Радиусы оснований этих конусов равны расстоянию от точек A и B до оси вращения, то есть $r_A = r_B = r = 6$ см.

Площадь поверхности $S_{AB}$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов:

$S_{AB} = S_{AM} + S_{MB} = (\pi r_A l_{AM}) + (\pi r_B l_{MB}) = (\pi \cdot 6 \cdot 7,5) + (\pi \cdot 6 \cdot 7,5) = 45\pi + 45\pi = 90\pi$ см².

Вращение стороны BC:

Аналогично, точка K является серединой стороны BC и лежит на оси вращения. При вращении отрезка BC также образуется поверхность из двух одинаковых конусов, но с общей вершиной в точке K. Образующая каждого конуса равна $l_{BK} = l_{KC} = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6,5$ см. Радиусы оснований равны $r_B = r_C = r = 6$ см.

Площадь поверхности $S_{BC}$ равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов:

$S_{BC} = S_{BK} + S_{KC} = (\pi r_B l_{BK}) + (\pi r_C l_{KC}) = (\pi \cdot 6 \cdot 6,5) + (\pi \cdot 6 \cdot 6,5) = 39\pi + 39\pi = 78\pi$ см².

3. Нахождение общей площади поверхности тела вращения

Общая площадь поверхности тела вращения $S_{total}$ равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением каждой из сторон треугольника:

$S_{total} = S_{AC} + S_{AB} + S_{BC}$

$S_{total} = 168\pi + 90\pi + 78\pi = 336\pi$ см².

Ответ: $336\pi$ см².

9.32. Отрезок $EF$ — средняя линия трапеции $ABCD$, в которой $BC \parallel AD$, $AB = BC = CD = a$, $AD = 2a$. Данная трапеция вращается вокруг прямой $EF$. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением каждой из сторон трапеции $ABCD$ вокруг средней линии $EF$.

1. Найдём высоту трапеции.Трапеция $ABCD$ является равнобедренной, так как её боковые стороны равны ($AB = CD = a$). Проведём высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$. Четырёхугольник $HBCK$ — прямоугольник, поэтому $HK = BC = a$. Основания высот делят большее основание на отрезки $AH$, $HK$ и $KD$. Так как трапеция равнобедренная, $AH = KD$.

$AH = \frac{AD - HK}{2} = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдём высоту трапеции $h = BH$:

$h = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Рассмотрим тело вращения.Средняя линия $EF$ параллельна основаниям $BC$ и $AD$ и находится на равном расстоянии от них. Это расстояние равно половине высоты трапеции:

$r = \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

При вращении трапеции вокруг линии $EF$:

• Основание $BC$ образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $r = \frac{a\sqrt{3}}{4}$ и высотой (длиной образующей), равной длине $BC=a$.
• Основание $AD$ образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $r = \frac{a\sqrt{3}}{4}$ и высотой, равной длине $AD=2a$.
• Боковая сторона $AB$ вращается вокруг оси $EF$, проходящей через её середину $E$. В результате образуется поверхность, состоящая из двух одинаковых конусов с общей вершиной в точке $E$. Образующая каждого конуса равна $l = AE = EB = \frac{a}{2}$. Радиусы оснований этих конусов равны расстоянию от точек $A$ и $B$ до оси вращения $EF$, то есть $r = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.
• Боковая сторона $CD$ по аналогии образует поверхность из двух таких же конусов с общей вершиной в точке $F$.

3. Вычислим площади поверхностей.

Площадь поверхности, образованной вращением стороны $BC$ ($S_{BC}$):

$S_{BC} = 2\pi r \cdot BC = 2\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}$

Площадь поверхности, образованной вращением стороны $AD$ ($S_{AD}$):

$S_{AD} = 2\pi r \cdot AD = 2\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot 2a = \pi a^2\sqrt{3}$

Площадь поверхности, образованной вращением стороны $AB$ ($S_{AB}$), равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов:

$S_{AB} = 2 \cdot (\pi r l) = 2 \cdot \left(\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{8} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{4}$

В силу симметрии, площадь поверхности, образованной вращением стороны $CD$ ($S_{CD}$), равна $S_{AB}$:

$S_{CD} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{4}$

4. Найдём общую площадь поверхности.

Суммарная площадь поверхности тела вращения $S$ равна:

$S = S_{BC} + S_{AD} + S_{AB} + S_{CD} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2} + \pi a^2\sqrt{3} + \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2} + \pi a^2\sqrt{3} + \frac{2\pi a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2} + \pi a^2\sqrt{3} + \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}$

$S = \pi a^2\sqrt{3} + \pi a^2\sqrt{3} = 2\pi a^2\sqrt{3}$

Ответ: $2\pi a^2\sqrt{3}$

9.33. В основании конуса проведены хорды $AB$ и $BC$ так, что $AB = BC = 20$ см, $\cos \angle ABC = \frac{1}{4}$. Найдите угол между прямой $AB$ и прямой, содержащей образующую $SC$, если $SC = 30$ см.

Пусть $S$ — вершина конуса, а точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности его основания. Из условия задачи имеем: хорды $AB = BC = 20$ см, $\cos(\angle ABC) = \frac{1}{4}$, и образующая $SC = 30$ см. Так как все образующие конуса равны, то $SA = SB = SC = 30$ см.

Угол $\alpha$ между скрещивающимися прямыми $AB$ и $SC$ найдем с помощью векторного метода. Он определяется формулой: $\cos \alpha = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{SC}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{SC}|}$. Длины векторов, задающих направления прямых, нам известны: $|\vec{AB}| = 20$ и $|\vec{SC}| = 30$.

Для вычисления скалярного произведения $\vec{AB} \cdot \vec{SC}$ выразим вектор $\vec{AB}$ через векторы с общим началом в вершине $S$: $\vec{AB} = \vec{SB} - \vec{SA}$. Тогда скалярное произведение равно: $\vec{AB} \cdot \vec{SC} = (\vec{SB} - \vec{SA}) \cdot \vec{SC} = \vec{SB} \cdot \vec{SC} - \vec{SA} \cdot \vec{SC}$.

Найдем необходимые для вычислений длины и скалярные произведения.

1. Сначала в треугольнике $ABC$, лежащем в основании конуса, по теореме косинусов найдем длину стороны $AC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot \frac{1}{4} = 800 - 200 = 600$.
Отсюда $AC = \sqrt{600} = 10\sqrt{6}$ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $SBC$. Он равнобедренный, так как $SB=SC=30$ см. Длина третьей стороны $BC=20$ см. По теореме косинусов найдем косинус угла $\angle BSC$, чтобы вычислить скалярное произведение $\vec{SB} \cdot \vec{SC}$:
$BC^2 = SB^2 + SC^2 - 2 \cdot SB \cdot SC \cdot \cos(\angle BSC)$
$400 = 30^2 + 30^2 - 2 \cdot 30 \cdot 30 \cdot \cos(\angle BSC) = 1800 - 1800\cos(\angle BSC)$
$\cos(\angle BSC) = \frac{1800 - 400}{1800} = \frac{1400}{1800} = \frac{7}{9}$.
Следовательно, скалярное произведение $\vec{SB} \cdot \vec{SC} = |\vec{SB}| \cdot |\vec{SC}| \cdot \cos(\angle BSC) = 30 \cdot 30 \cdot \frac{7}{9} = 700$.

3. Аналогично рассмотрим равнобедренный треугольник $SAC$ со сторонами $SA=SC=30$ см и $AC=10\sqrt{6}$ см. По теореме косинусов найдем косинус угла $\angle ASC$ для вычисления скалярного произведения $\vec{SA} \cdot \vec{SC}$:
$AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \cdot SA \cdot SC \cdot \cos(\angle ASC)$
$600 = 30^2 + 30^2 - 2 \cdot 30 \cdot 30 \cdot \cos(\angle ASC) = 1800 - 1800\cos(\angle ASC)$
$\cos(\angle ASC) = \frac{1800 - 600}{1800} = \frac{1200}{1800} = \frac{2}{3}$.
Следовательно, скалярное произведение $\vec{SA} \cdot \vec{SC} = |\vec{SA}| \cdot |\vec{SC}| \cdot \cos(\angle ASC) = 30 \cdot 30 \cdot \frac{2}{3} = 600$.

Вычислим искомый угол.
Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$:
$\vec{AB} \cdot \vec{SC} = \vec{SB} \cdot \vec{SC} - \vec{SA} \cdot \vec{SC} = 700 - 600 = 100$.
Подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла между прямыми:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{SC}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{SC}|} = \frac{|100|}{20 \cdot 30} = \frac{100}{600} = \frac{1}{6}$.

Таким образом, искомый угол равен $\arccos{\left(\frac{1}{6}\right)}$.

Ответ: $\arccos{\left(\frac{1}{6}\right)}$.