Номер 9.33, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.33. В основании конуса проведены хорды $AB$ и $BC$ так, что $AB = BC = 20$ см, $\cos \angle ABC = \frac{1}{4}$. Найдите угол между прямой $AB$ и прямой, содержащей образующую $SC$, если $SC = 30$ см.

Пусть $S$ — вершина конуса, а точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности его основания. Из условия задачи имеем: хорды $AB = BC = 20$ см, $\cos(\angle ABC) = \frac{1}{4}$, и образующая $SC = 30$ см. Так как все образующие конуса равны, то $SA = SB = SC = 30$ см.

Угол $\alpha$ между скрещивающимися прямыми $AB$ и $SC$ найдем с помощью векторного метода. Он определяется формулой: $\cos \alpha = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{SC}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{SC}|}$. Длины векторов, задающих направления прямых, нам известны: $|\vec{AB}| = 20$ и $|\vec{SC}| = 30$.

Для вычисления скалярного произведения $\vec{AB} \cdot \vec{SC}$ выразим вектор $\vec{AB}$ через векторы с общим началом в вершине $S$: $\vec{AB} = \vec{SB} - \vec{SA}$. Тогда скалярное произведение равно: $\vec{AB} \cdot \vec{SC} = (\vec{SB} - \vec{SA}) \cdot \vec{SC} = \vec{SB} \cdot \vec{SC} - \vec{SA} \cdot \vec{SC}$.

Найдем необходимые для вычислений длины и скалярные произведения.

1. Сначала в треугольнике $ABC$, лежащем в основании конуса, по теореме косинусов найдем длину стороны $AC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot \frac{1}{4} = 800 - 200 = 600$.
Отсюда $AC = \sqrt{600} = 10\sqrt{6}$ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $SBC$. Он равнобедренный, так как $SB=SC=30$ см. Длина третьей стороны $BC=20$ см. По теореме косинусов найдем косинус угла $\angle BSC$, чтобы вычислить скалярное произведение $\vec{SB} \cdot \vec{SC}$:
$BC^2 = SB^2 + SC^2 - 2 \cdot SB \cdot SC \cdot \cos(\angle BSC)$
$400 = 30^2 + 30^2 - 2 \cdot 30 \cdot 30 \cdot \cos(\angle BSC) = 1800 - 1800\cos(\angle BSC)$
$\cos(\angle BSC) = \frac{1800 - 400}{1800} = \frac{1400}{1800} = \frac{7}{9}$.
Следовательно, скалярное произведение $\vec{SB} \cdot \vec{SC} = |\vec{SB}| \cdot |\vec{SC}| \cdot \cos(\angle BSC) = 30 \cdot 30 \cdot \frac{7}{9} = 700$.

3. Аналогично рассмотрим равнобедренный треугольник $SAC$ со сторонами $SA=SC=30$ см и $AC=10\sqrt{6}$ см. По теореме косинусов найдем косинус угла $\angle ASC$ для вычисления скалярного произведения $\vec{SA} \cdot \vec{SC}$:
$AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \cdot SA \cdot SC \cdot \cos(\angle ASC)$
$600 = 30^2 + 30^2 - 2 \cdot 30 \cdot 30 \cdot \cos(\angle ASC) = 1800 - 1800\cos(\angle ASC)$
$\cos(\angle ASC) = \frac{1800 - 600}{1800} = \frac{1200}{1800} = \frac{2}{3}$.
Следовательно, скалярное произведение $\vec{SA} \cdot \vec{SC} = |\vec{SA}| \cdot |\vec{SC}| \cdot \cos(\angle ASC) = 30 \cdot 30 \cdot \frac{2}{3} = 600$.

Вычислим искомый угол.
Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$:
$\vec{AB} \cdot \vec{SC} = \vec{SB} \cdot \vec{SC} - \vec{SA} \cdot \vec{SC} = 700 - 600 = 100$.
Подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла между прямыми:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{SC}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{SC}|} = \frac{|100|}{20 \cdot 30} = \frac{100}{600} = \frac{1}{6}$.

Таким образом, искомый угол равен $\arccos{\left(\frac{1}{6}\right)}$.

Ответ: $\arccos{\left(\frac{1}{6}\right)}$.