Номер 9.39, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.39. Площадь равнобокой трапеции равна $32\sqrt{3}$ см^2, а острый угол — 60°. Найдите боковую сторону трапеции, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

Пусть $a$ и $b$ — основания равнобокой трапеции, $c$ — её боковая сторона, $h$ — высота, $S$ — площадь, $\alpha$ — острый угол.

По условию задачи:
$S = 32\sqrt{3}$ см²
$\alpha = 60^\circ$

Так как в трапецию можно вписать окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Для равнобокой трапеции:
$a + b = c + c = 2c$

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$
Подставим в эту формулу $a+b=2c$:
$S = \frac{2c}{2} \cdot h = c \cdot h$

Проведём высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона $c$, одним из катетов — высота $h$, а прилежащий к этому катету угол равен $90^\circ - \alpha$, противолежащий катету $h$ угол равен $\alpha$.
Из этого треугольника выразим высоту $h$ через боковую сторону $c$ и угол $\alpha$:
$\sin(\alpha) = \frac{h}{c} \implies h = c \cdot \sin(\alpha)$
Подставим значение угла $\alpha = 60^\circ$:
$h = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим выражение для высоты $h$ в формулу площади $S = c \cdot h$:
$S = c \cdot \left(c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{c^2\sqrt{3}}{2}$

Используя известное значение площади $S = 32\sqrt{3}$, составим уравнение для нахождения $c$:
$\frac{c^2\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$\frac{c^2}{2} = 32$
$c^2 = 64$
$c = \sqrt{64} = 8$ (так как длина стороны — положительная величина).

Ответ: 8 см.