Номер 9.38, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.38. Отрезки $AD$ и $CE$ — медианы треугольника $ABC$. Найдите сторону $AC$, если $AB = 8\sqrt{5}$ см, $BC = 6\sqrt{5}$ см и $AD \perp CE$.

Пусть в треугольнике $ABC$ медианы $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $O$. По свойству медиан, они точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, $AO:OD = 2:1$ и $CO:OE = 2:1$. Для удобства вычислений обозначим длины отрезков: пусть $OD = x$ и $OE = y$, тогда $AO = 2x$ и $CO = 2y$.

Поскольку $AD$ и $CE$ являются медианами, точки $D$ и $E$ — середины сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Длина отрезка $CD$ равна половине длины $BC$, то есть $CD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ см. Длина отрезка $AE$ равна половине длины $AB$, то есть $AE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ см.

По условию, медианы $AD$ и $CE$ перпендикулярны ($AD \perp CE$), значит угол в точке их пересечения $O$ равен $90^\circ$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AOE$ и $\triangle COD$. Применим к ним теорему Пифагора. Для $\triangle AOE$ имеем: $AO^2 + OE^2 = AE^2$, или $(2x)^2 + y^2 = (4\sqrt{5})^2$, что дает $4x^2 + y^2 = 80$. Для $\triangle COD$ имеем: $CO^2 + OD^2 = CD^2$, или $(2y)^2 + x^2 = (3\sqrt{5})^2$, что дает $x^2 + 4y^2 = 45$.

Мы получили систему из двух уравнений: $4x^2 + y^2 = 80$ и $x^2 + 4y^2 = 45$. Сложим эти два уравнения: $(4x^2 + y^2) + (x^2 + 4y^2) = 80 + 45$. Это упрощается до $5x^2 + 5y^2 = 125$. Разделив обе части уравнения на 5, получаем $x^2 + y^2 = 25$.

Сторону $AC$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle AOC$ (угол $\angle AOC = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AC^2 = AO^2 + CO^2$. Подставляя наши обозначения, получаем $AC^2 = (2x)^2 + (2y)^2 = 4x^2 + 4y^2 = 4(x^2 + y^2)$.

Так как мы ранее нашли, что $x^2 + y^2 = 25$, подставим это значение в выражение для $AC^2$: $AC^2 = 4 \cdot 25 = 100$. Отсюда находим длину стороны $AC$: $AC = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.