Номер 9.34, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.34. В основании конуса проведены хорды $AB$ и $BC$ так, что $AB = 10$ см, $BC = 18$ см, $\angle ABC = 60^\circ$. Угол между образующей $KC$ и хордой $AB$ равен $\arccos\frac{1}{3}$. Найдите образующую конуса.

Пусть $K$ — вершина конуса, а точки $A, B, C$ лежат на окружности его основания. Длина образующей конуса — это длина отрезков, соединяющих вершину с точками на окружности основания. Обозначим длину образующей через $L$, тогда $KA = KB = KC = L$.

1. Сначала рассмотрим треугольник $ABC$, который лежит в плоскости основания конуса. По условию, $AB = 10$ см, $BC = 18$ см, $\angle ABC = 60^{\circ}$. Применим теорему косинусов для нахождения длины хорды $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 10^2 + 18^2 - 2 \cdot 10 \cdot 18 \cdot \cos(60^{\circ}) = 100 + 324 - 360 \cdot \frac{1}{2} = 424 - 180 = 244$.

Таким образом, $AC = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$ см.

2. Угол между скрещивающимися прямыми, в данном случае между образующей $KC$ и хордой $AB$, можно найти с помощью скалярного произведения векторов. Пусть $\alpha$ — угол между прямыми $KC$ и $AB$. По условию $\alpha = \arccos\frac{1}{3}$, значит $\cos\alpha = \frac{1}{3}$.

Косинус угла между векторами $\vec{KC}$ и $\vec{AB}$ определяется формулой:

$\cos\alpha = \frac{|\vec{KC} \cdot \vec{AB}|}{|\vec{KC}| \cdot |\vec{AB}|}$

Подставляя известные значения $|\vec{KC}| = L$ и $|\vec{AB}| = 10$, получаем:

$\frac{1}{3} = \frac{|\vec{KC} \cdot \vec{AB}|}{L \cdot 10} \implies |\vec{KC} \cdot \vec{AB}| = \frac{10L}{3}$.

3. Выразим вектор $\vec{AB}$ через векторы, проведенные из вершины конуса $K$: $\vec{AB} = \vec{KB} - \vec{KA}$.

Теперь найдем скалярное произведение:

$\vec{KC} \cdot \vec{AB} = \vec{KC} \cdot (\vec{KB} - \vec{KA}) = \vec{KC} \cdot \vec{KB} - \vec{KC} \cdot \vec{KA}$.

4. Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Поэтому:

$\vec{KC} \cdot \vec{KB} = |\vec{KC}| \cdot |\vec{KB}| \cdot \cos(\angle CKB) = L \cdot L \cdot \cos(\angle CKB) = L^2 \cos(\angle CKB)$.

$\vec{KC} \cdot \vec{KA} = |\vec{KC}| \cdot |\vec{KA}| \cdot \cos(\angle CKA) = L \cdot L \cdot \cos(\angle CKA) = L^2 \cos(\angle CKA)$.

5. Найдем косинусы углов $\angle CKB$ и $\angle CKA$ из равнобедренных треугольников $KBC$ и $KAC$ с помощью теоремы косинусов.

В треугольнике $KBC$ стороны $KC=L$, $KB=L$, $BC=18$:

$BC^2 = KC^2 + KB^2 - 2 \cdot KC \cdot KB \cdot \cos(\angle CKB)$

$18^2 = L^2 + L^2 - 2L^2 \cos(\angle CKB) \implies 324 = 2L^2(1 - \cos(\angle CKB))$.

Отсюда $\cos(\angle CKB) = 1 - \frac{324}{2L^2} = 1 - \frac{162}{L^2}$.

В треугольнике $KAC$ стороны $KC=L$, $KA=L$, $AC=\sqrt{244}$:

$AC^2 = KC^2 + KA^2 - 2 \cdot KC \cdot KA \cdot \cos(\angle CKA)$

$244 = L^2 + L^2 - 2L^2 \cos(\angle CKA) \implies 244 = 2L^2(1 - \cos(\angle CKA))$.

Отсюда $\cos(\angle CKA) = 1 - \frac{244}{2L^2} = 1 - \frac{122}{L^2}$.

6. Подставим полученные выражения для косинусов в формулу для скалярного произведения:

$\vec{KC} \cdot \vec{AB} = L^2 \cos(\angle CKB) - L^2 \cos(\angle CKA) = L^2 \left( \left(1 - \frac{162}{L^2}\right) - \left(1 - \frac{122}{L^2}\right) \right)$

$\vec{KC} \cdot \vec{AB} = L^2 \left( 1 - \frac{162}{L^2} - 1 + \frac{122}{L^2} \right) = L^2 \left( \frac{122 - 162}{L^2} \right) = L^2 \left( \frac{-40}{L^2} \right) = -40$.

7. Теперь мы можем найти $L$, приравняв модуль скалярного произведения к выражению, найденному в шаге 2:

$|\vec{KC} \cdot \vec{AB}| = |-40| = 40$.

$\frac{10L}{3} = 40$.

$10L = 120$.

$L = 12$.

Таким образом, длина образующей конуса равна 12 см.

Ответ: 12 см.