Номер 9.35, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.35. Высота конуса равна 20 см. На окружности основания отметили точку $C$, удалённую от диаметра $AB$ основания на 15 см. Найдите расстояние между прямой $AB$ и прямой, содержащей образующую $SC$ конуса.

Прямая AB, содержащая диаметр основания конуса, и прямая, содержащая образующую SC, являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом ортогонального проецирования на плоскость, перпендикулярную одной из прямых.

Пусть O — центр основания конуса, S — его вершина. Высота конуса $SO = 20$ см. Диаметр AB лежит в плоскости основания. Точка C лежит на окружности основания. Расстояние от точки C до диаметра AB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB. Обозначим основание этого перпендикуляра как K. Тогда $CK \perp AB$ и $CK = 15$ см.

Рассмотрим плоскость $\Pi$, проходящую через точку C и перпендикулярную прямой AB. Спроецируем на эту плоскость прямые AB и SC.

1. Прямая AB, будучи перпендикулярной плоскости $\Pi$, спроецируется в одну точку — точку K, которая является точкой пересечения AB и $\Pi$.

2. Образующая SC спроецируется в отрезок S'C, где S' — ортогональная проекция точки S на плоскость $\Pi$.

Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми AB и SC равно расстоянию от точки K до прямой S'C в плоскости $\Pi$.

Рассмотрим геометрию в плоскости $\Pi$.

Высота конуса SO перпендикулярна плоскости основания, а значит, и прямой AB, лежащей в этой плоскости. Так как плоскость $\Pi$ также перпендикулярна AB, то отрезок KS', являющийся проекцией отрезка, соединяющего S и K, будет равен по длине высоте конуса SO и перпендикулярен отрезку CK. Таким образом, в плоскости $\Pi$ мы имеем прямоугольный треугольник $\triangle CKS'$ с прямым углом при вершине K.

Катеты этого треугольника равны:
$CK = 15$ см (по условию).
$KS' = SO = 20$ см (так как KS' является проекцией высоты на параллельную ей плоскость).

Искомое расстояние $d$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла K к гипотенузе S'C.

Найдем длину гипотенузы S'C по теореме Пифагора:
$S'C = \sqrt{CK^2 + (KS')^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см.

Площадь треугольника $\triangle CKS'$ можно вычислить двумя способами:
1. Через катеты: $A = \frac{1}{2} \cdot CK \cdot KS' = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ см$^2$.
2. Через гипотенузу и высоту $d$, проведенную к ней: $A = \frac{1}{2} \cdot S'C \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot d$.

Приравняем оба выражения для площади:
$\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot d = 150$
$25d = 300$
$d = \frac{300}{25} = 12$ см.

Ответ: 12 см.