Номер 9.28, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.28. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $α$, проведено сечение. Угол между плоскостью этого сечения и плоскостью основания конуса равен $β$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна $H$.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, а $SO = H$ — высота конуса. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник $ASB$, где $SA$ и $SB$ — образующие конуса ($L$), а $AB$ — хорда в основании. По условию, угол между образующими $\angle ASB = \alpha$.

Проведем высоту $SM$ в треугольнике $ASB$. Так как треугольник $ASB$ равнобедренный, $SM$ также является его медианой и биссектрисой. Следовательно, $M$ — середина хорды $AB$, и $\angle ASM = \alpha/2$.

Соединим точку $M$ с центром основания $O$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ (где $OA=OB=R$ — радиус основания) отрезок $OM$ является медианой, а значит, и высотой. Таким образом, $OM \perp AB$.

Угол между плоскостью сечения $(ASB)$ и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла с ребром $AB$. Так как $SM \perp AB$ и $OM \perp AB$, то искомый угол равен $\angle SMO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). В нем катет $SO=H$ и угол $\angle SMO = \beta$. Из этого треугольника можем найти длину высоты сечения $SM$:
$\sin \beta = \frac{SO}{SM} = \frac{H}{SM} \implies SM = \frac{H}{\sin \beta}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SAM$ (угол $\angle SMA = 90^\circ$). В нем известен катет $SM$ и угол $\angle ASM = \alpha/2$. Найдем длину образующей конуса $L=SA$:
$\cos(\alpha/2) = \frac{SM}{SA} = \frac{SM}{L} \implies L = \frac{SM}{\cos(\alpha/2)}$.
Подставив выражение для $SM$, получим:
$L = \frac{H/\sin \beta}{\cos(\alpha/2)} = \frac{H}{\sin \beta \cos(\alpha/2)}$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$. Нам необходимо найти радиус основания $R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, образованный высотой конуса $H$, радиусом $R$ и образующей $L$. По теореме Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$, откуда $R^2 = L^2 - H^2$.
Подставим найденное выражение для $L$:
$R^2 = \left(\frac{H}{\sin \beta \cos(\alpha/2)}\right)^2 - H^2 = H^2 \left(\frac{1}{\sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)} - 1\right) = H^2 \frac{1 - \sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}{\sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}$.
Отсюда $R = \frac{H \sqrt{1 - \sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}}{\sin \beta \cos(\alpha/2)}$.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \left(\frac{H \sqrt{1 - \sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}}{\sin \beta \cos(\alpha/2)}\right) \cdot \left(\frac{H}{\sin \beta \cos(\alpha/2)}\right)$.
$S_{бок} = \frac{\pi H^2 \sqrt{1 - \sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}}{\sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}$.

Ответ: $\frac{\pi H^2 \sqrt{1 - \sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}}{\sin^2 \beta \cos^2(\alpha/2)}$.