Номер 9.26, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.26. Отрезок $MO$ — высота конуса, $MO = 4\sqrt{2}$ см, отрезки $MA$ и $MB$ — его образующие. Расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно 2 см. Найдите расстояние от точки $O$ до плоскости $AMB$.

Пусть $M$ — вершина конуса, а $O$ — центр его основания. Отрезок $MO$ является высотой конуса, и по условию его длина $MO = 4\sqrt{2}$ см. $MA$ и $MB$ — образующие конуса, а точки $A$ и $B$ лежат на окружности основания.

Расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $H$. Таким образом, $OH \perp AB$ и $OH = 2$ см. Точка $H$ лежит на отрезке $AB$, так как $O$ находится внутри окружности, а $A$ и $B$ на ней.

Рассмотрим треугольник $MOH$. Так как $MO$ — высота конуса, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, перпендикулярна и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $MO \perp OH$. Это означает, что треугольник $MOH$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $O$.

Искомое расстояние от точки $O$ до плоскости $AMB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на эту плоскость. Обозначим этот перпендикуляр $OK$, где $K$ — точка на плоскости $AMB$.

Рассмотрим прямую $AB$. По построению, $OH \perp AB$. Также, так как $MO$ перпендикулярна всей плоскости основания, то $MO \perp AB$. Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $MO$ и $OH$, лежащим в плоскости $MOH$, то прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $MOH$.

Так как плоскость $AMB$ проходит через прямую $AB$, которая перпендикулярна плоскости $MOH$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $AMB$ перпендикулярна плоскости $MOH$.

Линией пересечения перпендикулярных плоскостей $AMB$ и $MOH$ является прямая $MH$. Перпендикуляр $OK$ из точки $O$ к плоскости $AMB$ должен лежать в плоскости $MOH$ и быть перпендикулярным линии пересечения $MH$. Таким образом, $OK$ — это высота прямоугольного треугольника $MOH$, проведенная из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $MH$.

Для нахождения длины $OK$ сначала найдем длину гипотенузы $MH$ по теореме Пифагора в треугольнике $MOH$:$MH = \sqrt{MO^2 + OH^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{16 \cdot 2 + 4} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6$ см.

Длину высоты $OK$ в прямоугольном треугольнике можно найти, приравняв выражения для его площади:$S_{\triangle MOH} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot MH \cdot OK$$MO \cdot OH = MH \cdot OK$$OK = \frac{MO \cdot OH}{MH}$

Подставим известные значения:$OK = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ см.