Номер 10.8, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.8. Дана трапеция $ABCD$ такая, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 6\sqrt{3}$ см, $BC = 2$ см, $\angle D = 60^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, полученного в результате вращения данной трапеции вокруг прямой $AB$.

При вращении данной трапеции $ABCD$ вокруг прямой $AB$ образуется усечённый конус. Осью вращения является высота трапеции $AB$, которая также является высотой $H$ усечённого конуса.

Параметры усечённого конуса:

• Высота $H = AB = 6\sqrt{3}$ см.
• Радиус меньшего (верхнего) основания $r_1$ равен длине стороны $BC$, то есть $r_1 = 2$ см.
• Радиус большего (нижнего) основания $r_2$ равен длине стороны $AD$.
• Образующая $l$ равна длине боковой стороны $CD$.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l$. Для нахождения площади нам нужно определить длины $AD$ и $CD$.

Проведём из точки $C$ высоту $CE$ на основание $AD$. Так как $BC \parallel AD$ и $AB \perp AD$, то $ABCE$ — прямоугольник. Отсюда следует, что $CE = AB = 6\sqrt{3}$ см и $AE = BC = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CED$, где $\angle CED = 90^\circ$. Нам известны катет $CE=6\sqrt{3}$ см и угол $\angle D = 60^\circ$.

Найдём длину второго катета $ED$ и гипотенузы $CD$:

Из определения тангенса угла: $\tan D = \frac{CE}{ED}$.$ED = \frac{CE}{\tan D} = \frac{6\sqrt{3}}{\tan 60^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ см.

Из определения синуса угла: $\sin D = \frac{CE}{CD}$.$CD = \frac{CE}{\sin D} = \frac{6\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 12$ см. Таким образом, образующая усечённого конуса $l = 12$ см.

Теперь найдём радиус большего основания $r_2$:$r_2 = AD = AE + ED = 2 + 6 = 8$ см.

Теперь у нас есть все необходимые значения для расчёта площади боковой поверхности усечённого конуса:$r_1 = 2$ см, $r_2 = 8$ см, $l = 12$ см.

$S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l = \pi(2 + 8) \cdot 12 = \pi \cdot 10 \cdot 12 = 120\pi$ см².

Ответ: $120\pi$ см².