Номер 10.17, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.17. Высота усечённого конуса равна 6 см, а угол между его образующей и плоскостью большего основания составляет $60^{\circ}$. Диагонали осевого сечения усечённого конуса перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Пусть $H$ — высота усечённого конуса, $R$ и $r$ — радиусы его большего и меньшего оснований соответственно, а $l$ — длина образующей.
Из условия задачи известно:
$H = 6$ см;
Угол между образующей и плоскостью большего основания равен $60°$;
Диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны.

Осевое сечение усечённого конуса является равнобокой трапецией. Обозначим её $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. Длины оснований равны диаметрам оснований конуса: $AD = 2R$, $BC = 2r$. Боковые стороны равны образующей: $AB = CD = l$. Высота трапеции равна высоте конуса $H$.

Для равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, высота равна полусумме оснований. Применим это свойство к нашему осевому сечению:
$H = \frac{AD + BC}{2}$
Подставим выражения для оснований через радиусы:
$H = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$
Поскольку $H = 6$ см, получаем, что сумма радиусов оснований:
$R + r = 6$ см.

Теперь найдём длину образующей $l$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей $l$, высотой $H$ и проекцией образующей на плоскость основания. Проведём высоту $BK$ из точки $B$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABK$:
• гипотенуза $AB = l$;
• катет $BK = H = 6$ см;
• угол $\angle BAK$ — это угол между образующей и плоскостью основания, который по условию равен $60°$.
Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(60°) = \frac{H}{l}$
Отсюда находим $l$:
$l = \frac{H}{\sin(60°)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса находится по формуле:
$S_{бок} = \pi(R+r)l$
Подставим найденные значения $R+r=6$ и $l=4\sqrt{3}$:
$S_{бок} = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $24\pi\sqrt{3}$ см²