Номер 10.23, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.23. Равнобедренный остроугольный треугольник с основанием $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, проходящей через вершину данного угла перпендикулярно к боковой стороне треугольника. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан равнобедренный остроугольный треугольник $ABC$ с основанием $BC=a$ и углом при вершине $\angle BAC = \alpha$. Боковые стороны треугольника равны: $AB = AC = b$. Ось вращения $l$ проходит через вершину $A$ и перпендикулярна боковой стороне, например, $AC$.

Площадь поверхности тела вращения $S$ складывается из площадей поверхностей, образованных вращением боковой стороны $AB$ ($S_{AB}$) и основания $BC$ ($S_{BC}$). Сторона $AC$ лежит на прямой, перпендикулярной оси вращения и проходящей через точку на оси, поэтому при вращении она образует плоский круг (диск), который не является частью внешней поверхности тела вращения.

Найдем длину боковой стороны $b$ через $a$ и $\alpha$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:$a^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos\alpha = 2b^2(1 - \cos\alpha)$Используя формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$, получаем:$a^2 = 2b^2 \cdot 2\sin^2(\alpha/2) = 4b^2\sin^2(\alpha/2)$Отсюда выразим $b$:$b = \frac{a}{2\sin(\alpha/2)}$

Теперь найдем площади поверхностей вращения.

1. Поверхность, образованная вращением стороны AB

Сторона $AB$ при вращении вокруг оси $l$ образует боковую поверхность конуса. Вершина конуса находится в точке $A$. Радиус основания этого конуса равен расстоянию от точки $B$ до оси вращения $l$. Обозначим это расстояние $r_B$. Поскольку ось $l$ перпендикулярна $AC$, расстояние от $B$ до $l$ равно проекции отрезка $AB$ на прямую, содержащую $AC$, умноженной на косинус угла между $AB$ и этой прямой. Угол между $AB$ и $AC$ равен $\alpha$. Расстояние от B до оси l равно $AB \cdot \cos(\angle(AB, AC)) = b \cos\alpha$. Итак, $r_B = b \cos\alpha$. Образующая конуса равна длине стороны $AB$, то есть $b$. Площадь боковой поверхности конуса:$S_{AB} = \pi \cdot r_B \cdot b = \pi (b \cos\alpha) b = \pi b^2 \cos\alpha$

2. Поверхность, образованная вращением стороны BC

Сторона $BC$ при вращении вокруг оси $l$ образует боковую поверхность усеченного конуса. Образующая этого усеченного конуса равна длине основания $a$. Радиусы оснований усеченного конуса равны расстояниям от точек $B$ и $C$ до оси вращения $l$. Радиус, соответствующий точке $B$: $r_B = b \cos\alpha$. Радиус, соответствующий точке $C$: $r_C$ равен расстоянию от точки $C$ до оси $l$. Так как ось $l$ проходит через $A$ и перпендикулярна $AC$, это расстояние равно длине отрезка $AC$, то есть $r_C = b$. Площадь боковой поверхности усеченного конуса:$S_{BC} = \pi (r_B + r_C) a = \pi (b \cos\alpha + b) a = \pi ab(1 + \cos\alpha)$

3. Общая площадь поверхности

Общая площадь поверхности тела вращения равна сумме найденных площадей:$S = S_{AB} + S_{BC} = \pi b^2 \cos\alpha + \pi ab(1 + \cos\alpha)$

Подставим в это выражение $b = \frac{a}{2\sin(\alpha/2)}$:$S = \pi \left(\frac{a}{2\sin(\alpha/2)}\right)^2 \cos\alpha + \pi a \left(\frac{a}{2\sin(\alpha/2)}\right) (1 + \cos\alpha)$$S = \frac{\pi a^2 \cos\alpha}{4\sin^2(\alpha/2)} + \frac{\pi a^2 (1 + \cos\alpha)}{2\sin(\alpha/2)}$

Приведем к общему знаменателю $4\sin^2(\alpha/2)$:$S = \frac{\pi a^2 \cos\alpha + \pi a^2 (1 + \cos\alpha) \cdot 2\sin(\alpha/2)}{4\sin^2(\alpha/2)}$$S = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(\alpha/2)} \left( \cos\alpha + 2\sin(\alpha/2)(1 + \cos\alpha) \right)$

Упростим выражение в скобках:$\cos\alpha + 2\sin(\alpha/2)(1 + \cos\alpha) = \cos\alpha + 2\sin(\alpha/2) + 2\sin(\alpha/2)\cos\alpha$Используя формулу произведения синуса на косинус $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$, где $A=\alpha/2$, $B=\alpha$:$2\sin(\alpha/2)\cos\alpha = \sin(3\alpha/2) + \sin(-\alpha/2) = \sin(3\alpha/2) - \sin(\alpha/2)$Тогда выражение в скобках равно:$\cos\alpha + 2\sin(\alpha/2) + \sin(3\alpha/2) - \sin(\alpha/2) = \cos\alpha + \sin(\alpha/2) + \sin(3\alpha/2)$Используя формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:$\sin(\alpha/2) + \sin(3\alpha/2) = 2\sin\left(\frac{4\alpha/2}{2}\right)\cos\left(\frac{-2\alpha/2}{2}\right) = 2\sin\alpha\cos(\alpha/2)$Таким образом, выражение в скобках равно $\cos\alpha + 2\sin\alpha\cos(\alpha/2)$.

Подставляем упрощенное выражение обратно в формулу для площади:$S = \frac{\pi a^2 (\cos\alpha + 2\sin\alpha\cos(\alpha/2))}{4\sin^2(\alpha/2)}$

Ответ: $S = \frac{\pi a^2 (\cos\alpha + 2\sin\alpha\cos(\alpha/2))}{4\sin^2(\alpha/2)}$