Номер 10.19, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.19. Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен $ \alpha $, а угол между диагональю осевого сечения и этой плоскостью равен $ \beta $. Найдите радиусы оснований усечённого конуса, если его высота равна $ h $.

Пусть $R$ и $r$ - радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно. Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию. Обозначим её вершины $ABCD$, где $AD$ - большее основание, а $BC$ - меньшее. Тогда длины оснований трапеции равны диаметрам оснований конуса: $AD = 2R$, $BC = 2r$. Высота трапеции равна высоте конуса $h$.

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на большее основание $AD$. Тогда $CH = h$.

Рассмотрим угол $\alpha$

Угол $\alpha$ — это угол между образующей конуса (в осевом сечении это боковая сторона трапеции, например, $CD$) и плоскостью большего основания (в сечении это прямая $AD$). В прямоугольном треугольнике $\triangle CHD$ (с прямым углом при вершине $H$) этот угол — $\angle CDH = \alpha$.

Из определения котангенса в прямоугольном треугольнике:

$\cot \alpha = \frac{HD}{CH}$

Подставляя известные значения, получаем $HD = CH \cdot \cot \alpha = h \cot \alpha$.

Длина отрезка $HD$ также может быть выражена через радиусы оснований. Поскольку трапеция равнобокая, $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2R - 2r}{2} = R - r$.

Приравнивая два полученных выражения для $HD$, получаем первое уравнение:

$R - r = h \cot \alpha$ (1)

Рассмотрим угол $\beta$

Угол $\beta$ — это угол между диагональю осевого сечения (отрезок $AC$) и плоскостью большего основания. В прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ (с прямым углом при вершине $H$) этот угол — $\angle CAH = \beta$.

Из определения котангенса в прямоугольном треугольнике:

$\cot \beta = \frac{AH}{CH}$

Подставляя известные значения, получаем $AH = CH \cdot \cot \beta = h \cot \beta$.

Длина отрезка $AH$ также выражается через радиусы: $AH = AD - HD = 2R - (R-r) = R+r$.

Приравнивая два полученных выражения для $AH$, получаем второе уравнение:

$R + r = h \cot \beta$ (2)

Решение системы уравнений

Мы имеем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $R$ и $r$:

$\begin{cases} R - r = h \cot \alpha \\ R + r = h \cot \beta \end{cases}$

Чтобы найти радиус большего основания $R$, сложим уравнения (1) и (2):

$(R - r) + (R + r) = h \cot \alpha + h \cot \beta$

$2R = h(\cot \alpha + \cot \beta)$

$R = \frac{h}{2}(\cot \alpha + \cot \beta)$

Чтобы найти радиус меньшего основания $r$, вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(R + r) - (R - r) = h \cot \beta - h \cot \alpha$

$2r = h(\cot \beta - \cot \alpha)$

$r = \frac{h}{2}(\cot \beta - \cot \alpha)$

Ответ: радиусы оснований усечённого конуса равны $R = \frac{h}{2}(\cot \beta + \cot \alpha)$ и $r = \frac{h}{2}(\cot \beta - \cot \alpha)$.