Номер 10.26, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.26. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его меньшего угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Катеты равны $BC = a = 18$ см и $AC = b = 24$ см.

1. Нахождение гипотенузы и определение меньшего угла

Сначала найдем длину гипотенузы AB (обозначим ее как $c$) по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$

$c = \sqrt{900} = 30$ см.

В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол. Сравним длины сторон: $a=18$ см, $b=24$ см, $c=30$ см. Наименьшая сторона — это катет $a=18$ см. Следовательно, наименьший угол — это угол $A$, лежащий напротив этого катета.

2. Применение свойства биссектрисы

Нам нужно найти длину биссектрисы, проведенной из вершины меньшего угла $A$. Обозначим эту биссектрису как $AL$, где точка $L$ лежит на катете $BC$.

Согласно свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{CL}{LB} = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные значения длин сторон $AC=24$ и $AB=30$:

$\frac{CL}{LB} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$

Мы также знаем, что точка $L$ лежит на катете $BC$, поэтому $CL + LB = BC = 18$ см.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{CL}{LB} = \frac{4}{5} \\ CL + LB = 18 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $LB$: $LB = \frac{5}{4}CL$. Подставим во второе уравнение:

$CL + \frac{5}{4}CL = 18$

$\frac{9}{4}CL = 18$

$CL = \frac{18 \cdot 4}{9} = 2 \cdot 4 = 8$ см.

3. Вычисление длины биссектрисы

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACL$ (угол $C$ прямой). Мы знаем длины его катетов: $AC = 24$ см и $CL = 8$ см. Биссектриса $AL$ является гипотенузой этого треугольника.

Найдем длину $AL$ по теореме Пифагора:

$AL^2 = AC^2 + CL^2$

$AL^2 = 24^2 + 8^2 = 576 + 64 = 640$

$AL = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}$ см.

Ответ: $8\sqrt{10}$ см.