Номер 11.8, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.

Так как конус вписан в правильную треугольную пирамиду, его основание является окружностью, вписанной в основание пирамиды (правильный треугольник со стороной $a$), а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

Радиус $R$ основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$. Этот радиус находится по формуле:$R = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Образующая конуса $L$ совпадает с апофемой (высотой боковой грани) пирамиды. Для ее нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, ее апофемой и радиусом вписанной в основание окружности. В этом треугольнике апофема является гипотенузой, а радиус — одним из катетов. Угол между апофемой и радиусом, проведенным к ее основанию, является линейным углом двугранного угла при ребре основания, который по условию равен $\alpha$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\cos(\alpha) = \frac{R}{L}$.

Отсюда выражаем образующую $L$:$L = \frac{R}{\cos(\alpha)}$.

Подставим найденное ранее выражение для $R$:$L = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)}$.

Теперь, зная $R$ и $L$, мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)}\right) = \frac{\pi \cdot a^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{36\cos(\alpha)} = \frac{3\pi a^2}{36\cos(\alpha)} = \frac{\pi a^2}{12\cos(\alpha)}$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi a^2}{12\cos(\alpha)}$.