Номер 12.9, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.9. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок CD, если $C (-3; 6; 5)$, $D (1; -4; -5)$.

Общее уравнение сферы имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где точка $O(x_0; y_0; z_0)$ является центром сферы, а $R$ — ее радиусом.

1. Нахождение центра сферы
Поскольку отрезок $CD$ является диаметром сферы, ее центр $O$ находится в середине этого отрезка. Для нахождения координат центра $O(x_0; y_0; z_0)$ используем формулы координат середины отрезка для точек $C(-3; 6; 5)$ и $D(1; -4; -5)$: $x_0 = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_0 = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{6 + (-4)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$z_0 = \frac{z_C + z_D}{2} = \frac{5 + (-5)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Таким образом, центр сферы — точка $O(-1; 1; 0)$.

2. Нахождение радиуса сферы
Радиус сферы $R$ равен половине длины диаметра $CD$. Найдем квадрат радиуса $R^2$. Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Через длину диаметра.
Найдем квадрат длины диаметра $CD$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: $CD^2 = (x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2$
$CD^2 = (1 - (-3))^2 + (-4 - 6)^2 + (-5 - 5)^2 = 4^2 + (-10)^2 + (-10)^2 = 16 + 100 + 100 = 216$
Квадрат радиуса равен четверти квадрата диаметра: $R^2 = \frac{CD^2}{4} = \frac{216}{4} = 54$

Способ 2: Через расстояние от центра до точки на сфере.
Радиус — это расстояние от центра сферы $O(-1; 1; 0)$ до любой точки на ней, например, до точки $C(-3; 6; 5)$. Найдем квадрат этого расстояния: $R^2 = (x_C - x_0)^2 + (y_C - y_0)^2 + (z_C - z_0)^2$
$R^2 = (-3 - (-1))^2 + (6 - 1)^2 + (5 - 0)^2 = (-2)^2 + 5^2 + 5^2 = 4 + 25 + 25 = 54$

3. Составление уравнения сферы
Теперь, зная координаты центра $O(-1; 1; 0)$ и квадрат радиуса $R^2 = 54$, подставим эти значения в общее уравнение сферы: $(x - (-1))^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = 54$
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 54$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 54$