Номер 12.11, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.11. Сфера с центром в точке $A (-1; 3; 2)$ пересекается с осью ординат в точках $B (0; -1; 0)$ и $C$. Найдите координаты точки $C$.

По условию, центр сферы находится в точке $A(-1; 3; 2)$. Сфера пересекает ось ординат (ось Oy) в точках $B(0; -1; 0)$ и $C$.

Все точки, лежащие на сфере, равноудалены от её центра. Расстояние от центра до любой точки на сфере равно радиусу $R$. Найдем квадрат радиуса сферы, вычислив квадрат расстояния от центра $A$ до точки $B$, лежащей на сфере.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ выглядит так: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

$R^2 = |AB|^2 = (0 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2 + (0 - 2)^2 = 1^2 + (-4)^2 + (-2)^2 = 1 + 16 + 4 = 21$.

Уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$. Подставив координаты центра $A(-1; 3; 2)$ и найденное значение $R^2=21$, получим уравнение нашей сферы:

$(x - (-1))^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 21$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 21$

Точка $C$ также лежит на оси ординат, поэтому её координаты имеют вид $(0; y_C; 0)$. Поскольку точка $C$ лежит на сфере, её координаты должны удовлетворять уравнению сферы. Подставим $x=0$ и $z=0$ в уравнение сферы, чтобы найти возможные значения ординаты $y_C$:

$(0 + 1)^2 + (y_C - 3)^2 + (0 - 2)^2 = 21$

$1 + (y_C - 3)^2 + 4 = 21$

$(y_C - 3)^2 + 5 = 21$

$(y_C - 3)^2 = 16$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных решения:

$y_C - 3 = 4 \implies y_C = 7$

$y_C - 3 = -4 \implies y_C = -1$

Мы получили две ординаты точек пересечения сферы с осью Oy: $y = 7$ и $y = -1$. Ордината точки $B$ равна -1. Следовательно, ордината точки $C$ равна 7. Таким образом, координаты точки $C$ равны $(0; 7; 0)$.

Ответ: $C(0; 7; 0)$.