Номер 12.14, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.14. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 10x + 14y + 2z + 70 = 0$ является уравнением сферы, укажите координаты центра и радиус этой сферы.

Для того чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, и найти её центр и радиус, необходимо привести его к каноническому виду уравнения сферы: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — это координаты центра, а $R$ — это радиус.

Исходное уравнение:

$x^2 + y^2 + z^2 - 10x + 14y + 2z + 70 = 0$

Сгруппируем члены, содержащие одинаковые переменные:

$(x^2 - 10x) + (y^2 + 14y) + (z^2 + 2z) + 70 = 0$

Далее, для каждой группы применим метод выделения полного квадрата по формуле $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$.

Для переменной $x$:

$x^2 - 10x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 = (x - 5)^2 - 25$

Для переменной $y$:

$y^2 + 14y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 7 = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 7 + 7^2) - 7^2 = (y + 7)^2 - 49$

Для переменной $z$:

$z^2 + 2z = z^2 + 2 \cdot z \cdot 1 = (z^2 + 2 \cdot z \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (z + 1)^2 - 1$

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

$((x - 5)^2 - 25) + ((y + 7)^2 - 49) + ((z + 1)^2 - 1) + 70 = 0$

Перегруппируем слагаемые, отделяя полные квадраты от констант:

$(x - 5)^2 + (y + 7)^2 + (z + 1)^2 - 25 - 49 - 1 + 70 = 0$

$(x - 5)^2 + (y + 7)^2 + (z + 1)^2 - 75 + 70 = 0$

$(x - 5)^2 + (y + 7)^2 + (z + 1)^2 - 5 = 0$

Перенесем константу в правую часть:

$(x - 5)^2 + (y + 7)^2 + (z + 1)^2 = 5$

Полученное уравнение полностью соответствует каноническому виду уравнения сферы. Так как правая часть уравнения ($R^2 = 5$) является положительным числом, данное уравнение действительно задает сферу в трехмерном пространстве. Это доказывает первое утверждение задачи.

Сравнивая уравнение с каноническим видом $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, мы можем определить координаты центра и радиус:

Координаты центра сферы $(x_0, y_0, z_0)$ равны $(5, -7, -1)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 5$, следовательно, радиус сферы $R = \sqrt{5}$.

Ответ: Уравнение является уравнением сферы с центром в точке $(5, -7, -1)$ и радиусом $R = \sqrt{5}$.