Номер 12.19, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.19. Сфера радиуса $\sqrt{41}$ см проходит через вершины $B, C, C_1$ и середину ребра $A_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите ребро куба.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину D куба, а оси Ox, Oy, Oz направим вдоль ребер DA, DC и DD₁ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат заданные точки, через которые проходит сфера, будут иметь следующие координаты: вершина $B(a, a, 0)$, вершина $C(0, a, 0)$, вершина $C_1(0, a, a)$. Найдем координаты середины M ребра $A_1D_1$. Координаты концов этого ребра: $A_1(a, 0, a)$ и $D_1(0, 0, a)$. Тогда середина M имеет координаты $M(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{a+a}{2}) = M(\frac{a}{2}, 0, a)$.

Пусть центр сферы $O$ имеет координаты $(x, y, z)$. Радиус сферы по условию $R = \sqrt{41}$ см, следовательно, квадрат радиуса $R^2 = 41$. Уравнение сферы имеет вид: $(X-x)^2 + (Y-y)^2 + (Z-z)^2 = R^2$.

Так как все четыре точки (B, C, C₁, M) лежат на сфере, они равноудалены от ее центра. Расстояние от центра до каждой из этих точек равно радиусу. Запишем систему уравнений, приравняв квадраты этих расстояний к $R^2$:
(1) $OB^2 = (a-x)^2 + (a-y)^2 + z^2 = 41$
(2) $OC^2 = (0-x)^2 + (a-y)^2 + z^2 = 41$
(3) $OC_1^2 = (0-x)^2 + (a-y)^2 + (a-z)^2 = 41$
(4) $OM^2 = (\frac{a}{2}-x)^2 + (0-y)^2 + (a-z)^2 = 41$

Приравняем левые части уравнений (1) и (2), так как они обе равны 41:
$(a-x)^2 + (a-y)^2 + z^2 = (0-x)^2 + (a-y)^2 + z^2$
$(a-x)^2 = x^2$
$a^2 - 2ax + x^2 = x^2$
$a^2 - 2ax = 0 \implies a(a - 2x) = 0$.
Так как $a$ — это длина ребра куба, $a \ne 0$. Следовательно, $a - 2x = 0$, откуда $x = \frac{a}{2}$.

Аналогично приравняем левые части уравнений (2) и (3):
$(0-x)^2 + (a-y)^2 + z^2 = (0-x)^2 + (a-y)^2 + (a-z)^2$
$z^2 = (a-z)^2$
$z^2 = a^2 - 2az + z^2$
$a^2 - 2az = 0 \implies a(a - 2z) = 0$.
Так как $a \ne 0$, то $a - 2z = 0$, откуда $z = \frac{a}{2}$.

Теперь подставим найденные значения $x = \frac{a}{2}$ и $z = \frac{a}{2}$ в уравнения (3) и (4).
Из уравнения (3):
$(0-\frac{a}{2})^2 + (a-y)^2 + (a-\frac{a}{2})^2 = 41$
$\frac{a^2}{4} + (a-y)^2 + \frac{a^2}{4} = 41 \implies \frac{a^2}{2} + (a-y)^2 = 41$ (5)
Из уравнения (4):
$(\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2 + (0-y)^2 + (a-\frac{a}{2})^2 = 41$
$0 + y^2 + (\frac{a}{2})^2 = 41 \implies y^2 + \frac{a^2}{4} = 41$ (6)

Из уравнения (6) выразим $y^2 = 41 - \frac{a^2}{4}$. Раскроем скобки в уравнении (5) и подставим в него это выражение:
$\frac{a^2}{2} + a^2 - 2ay + y^2 = 41$
$\frac{3a^2}{2} - 2ay + (41 - \frac{a^2}{4}) = 41$
$\frac{3a^2}{2} - \frac{a^2}{4} - 2ay = 41 - 41$
$\frac{6a^2 - a^2}{4} - 2ay = 0$
$\frac{5a^2}{4} - 2ay = 0$
$a(\frac{5a}{4} - 2y) = 0$
Так как $a \ne 0$, то $\frac{5a}{4} - 2y = 0$, откуда $y = \frac{5a}{8}$.

Наконец, подставим найденное выражение для $y$ в уравнение (6):
$(\frac{5a}{8})^2 + \frac{a^2}{4} = 41$
$\frac{25a^2}{64} + \frac{a^2}{4} = 41$
$\frac{25a^2}{64} + \frac{16a^2}{64} = 41$
$\frac{41a^2}{64} = 41$
$a^2 = 64$.

Поскольку $a$ — это длина ребра, $a > 0$, следовательно $a = 8$. Ребро куба равно 8 см.

Ответ: 8 см.