Номер 12.23, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.23. Для данного тетраэдра укажите точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин данного тетраэдра наименьшая.

Пусть вершины тетраэдра обозначены точками $A$, $B$, $C$ и $D$. Введем декартову систему координат. Координаты вершин: $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$, $C(x_C, y_C, z_C)$ и $D(x_D, y_D, z_D)$. Пусть искомая точка — это $M(x, y, z)$.

Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины, например $A$, вычисляется по формуле:

$MA^2 = (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2$

Нам нужно найти точку $M$, для которой сумма квадратов расстояний до всех вершин будет наименьшей. Обозначим эту сумму как $S(M)$:

$S(M) = MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2$

Подставив выражения для квадратов расстояний, получим функцию трех переменных $x, y, z$:

$S(x, y, z) = ((x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2) + ((x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 + (z - z_B)^2) + ((x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 + (z - z_C)^2) + ((x - x_D)^2 + (y - y_D)^2 + (z - z_D)^2)$

Чтобы найти минимум этой функции, можно найти ее частные производные по $x, y$ и $z$ и приравнять их к нулю. Заметим, что функция $S(x, y, z)$ является суммой трех независимых функций: одна зависит только от $x$, вторая — только от $y$, а третья — только от $z$. То есть $S(x, y, z) = S_x(x) + S_y(y) + S_z(z)$, где, например, $S_x(x) = (x - x_A)^2 + (x - x_B)^2 + (x - x_C)^2 + (x - x_D)^2$. Для нахождения минимума $S(x, y, z)$ достаточно найти минимумы каждой из этих функций по отдельности.

Найдем производную функции $S_x(x)$ по переменной $x$ и приравняем ее к нулю:

$\frac{dS_x}{dx} = 2(x - x_A) + 2(x - x_B) + 2(x - x_C) + 2(x - x_D) = 0$

Разделив на 2, получим:

$(x - x_A) + (x - x_B) + (x - x_C) + (x - x_D) = 0$

$4x - (x_A + x_B + x_C + x_D) = 0$

$x = \frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}$

Аналогично для переменных $y$ и $z$ получаем:

$y = \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}$

$z = \frac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4}$

Точка $M$ с такими координатами является точкой, минимизирующей сумму квадратов расстояний. Координаты этой точки являются средним арифметическим координат вершин тетраэдра. Эта точка известна как центроид (или центр масс) тетраэдра.

Геометрически центроид тетраэдра — это точка пересечения его медиан. Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани. Все четыре медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Также центроид является точкой пересечения трех бимедиан тетраэдра (отрезков, соединяющих середины скрещивающихся ребер), причем он является серединой каждой из них.

Ответ: Искомая точка — это центроид (центр масс) данного тетраэдра, который является точкой пересечения его медиан.