Номер 12.20, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.20. Найдите геометрическое место точек, удалённых на расстояние $d$

от данной сферы радиуса $r$.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Расстояние от произвольной точки $M$ пространства до этой сферы определяется как кратчайшее из расстояний от точки $M$ до точек на сфере. Это расстояние равно модулю разности расстояния от точки $M$ до центра сферы $O$ (обозначим его $\rho(M, O)$) и радиуса сферы $r$.

По условию задачи, мы ищем геометрическое место точек $M$, для которых расстояние до сферы равно $d$. Это можно записать в виде уравнения:

$|\rho(M, O) - r| = d$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $\rho(M, O) - r = d \implies \rho(M, O) = r + d$

2) $\rho(M, O) - r = -d \implies \rho(M, O) = r - d$

Рассмотрим, какие множества точек задают эти уравнения.

Первое уравнение, $\rho(M, O) = r + d$, описывает множество всех точек, находящихся на расстоянии $r+d$ от центра $O$. Это сфера, концентрическая данной, с радиусом $R_1 = r + d$. Так как $r>0$ и по определению $d \ge 0$, радиус $R_1$ всегда положительный, и эта сфера всегда является частью искомого геометрического места.

Второе уравнение, $\rho(M, O) = r - d$, описывает множество точек, находящихся на расстоянии $r-d$ от центра $O$. Существование и вид этого множества зависят от соотношения между $r$ и $d$, поскольку расстояние не может быть отрицательным.

Проанализируем все возможные случаи.

1. Если $r > d$

В этом случае величина $r - d$ положительна. Следовательно, искомое геометрическое место точек состоит из двух объектов:
- Сферы с центром в $O$ и радиусом $R_1 = r + d$ (из первого уравнения).
- Сферы с центром в $O$ и радиусом $R_2 = r - d$ (из второго уравнения).
Таким образом, искомое множество — это объединение двух концентрических сфер.

2. Если $r = d$

В этом случае $r - d = 0$.
- Первое уравнение задает сферу с центром в $O$ и радиусом $R_1 = r + d = r + r = 2r$.
- Второе уравнение принимает вид $\rho(M, O) = 0$, что означает, что точка $M$ совпадает с центром $O$.
Таким образом, искомое множество состоит из сферы радиуса $2r$ и ее центра $O$.

3. Если $r < d$

В этом случае величина $r - d$ отрицательна.
- Первое уравнение, как и прежде, задает сферу с центром в $O$ и радиусом $R_1 = r + d$.
- Второе уравнение, $\rho(M, O) = r - d$, не имеет решений, так как расстояние не может быть отрицательным.
Следовательно, искомое множество — это только одна сфера.

Ответ: искомое геометрическое место точек зависит от соотношения между радиусом сферы $r$ и расстоянием $d$. Пусть центр данной сферы — точка $O$.
• Если $r > d$, то это две сферы с центром в точке $O$ и радиусами $r + d$ и $r - d$.
• Если $r = d$, то это сфера с центром в точке $O$ радиуса $2r$ и сама точка $O$.
• Если $r < d$, то это одна сфера с центром в точке $O$ и радиусом $r + d$.