Номер 12.26, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.26. Найдите длину окружности, описанной около равнобокой трапеции с основаниями 6 см и 8 см и высотой 7 см.

Для нахождения длины окружности $L$ необходимо сначала найти ее радиус $R$. Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi R$.

Поскольку окружность описана около равнобокой трапеции, все ее вершины лежат на этой окружности. Радиус окружности, описанной около трапеции, равен радиусу окружности, описанной около любого треугольника, образованного тремя вершинами этой трапеции. Рассмотрим треугольник $ABD$, где $AD$ — большее основание трапеции $ABCD$ с основаниями $AD=8$ см и $BC=6$ см, и высотой $h=7$ см.

Сначала найдем длину боковой стороны трапеции. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает от большего основания, равен полуразности оснований:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1$ см.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдем боковую сторону $AB$:

$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

Далее найдем длину диагонали трапеции $BD$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Катет $BH$ равен высоте трапеции, $BH=7$ см. Длина второго катета $HD$ равна:

$HD = AD - AH = 8 - 1 = 7$ см.

По теореме Пифагора найдем диагональ $BD$:

$BD = \sqrt{BH^2 + HD^2} = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ см.

Теперь мы знаем все стороны треугольника $ABD$: $AD = 8$ см, $AB = 5\sqrt{2}$ см, $BD = 7\sqrt{2}$ см. Радиус $R$ описанной около треугольника окружности находится по формуле $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Площадь треугольника $ABD$ можно найти, зная его основание $AD$ и высоту, проведенную к нему (которая равна высоте трапеции $h$):

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 = 28$ см$^2$.

Вычислим радиус описанной окружности:

$R = \frac{AD \cdot AB \cdot BD}{4S_{ABD}} = \frac{8 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 7\sqrt{2}}{4 \cdot 28} = \frac{8 \cdot 5 \cdot 7 \cdot (\sqrt{2})^2}{112} = \frac{8 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2}{112} = \frac{560}{112} = 5$ см.

Наконец, найдем искомую длину окружности:

$L = 2\pi R = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см.

Ответ: $10\pi$ см.