Номер 13.6, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.6. Докажите, что если плоскость $\alpha$ пересекает сферу с центром в точке $O$ по окружности с центром в точке $O_1$, то $OO_1 \perp \alpha$.

13.6.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Плоскость $\alpha$ пересекает эту сферу. По условию, сечением является окружность с центром в точке $O_1$. Требуется доказать, что прямая $OO_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Для доказательства опустим перпендикуляр из центра сферы $O$ на плоскость $\alpha$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$. По построению, отрезок $OH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$ ($OH \perp \alpha$). Наша задача — показать, что точка $H$ совпадает с точкой $O_1$.

Возьмем любую точку $A$, принадлежащую линии пересечения (окружности). Так как точка $A$ лежит на линии пересечения, она принадлежит как сфере, так и плоскости $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OHA$. Поскольку $OH \perp \alpha$, а прямая $HA$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $H$, то $OH$ перпендикулярен $HA$. Таким образом, $\triangle OHA$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $H$.

Согласно теореме Пифагора для $\triangle OHA$ справедливо равенство: $OA^2 = OH^2 + HA^2$.

Точка $A$ находится на поверхности сферы, поэтому ее расстояние до центра $O$ равно радиусу сферы $R$, то есть $OA = R$. Подставим это значение в уравнение: $R^2 = OH^2 + HA^2$.

Из этого соотношения выразим квадрат длины отрезка $HA$: $HA^2 = R^2 - OH^2$.

Величина радиуса $R$ является постоянной для данной сферы. Длина перпендикуляра $OH$ от точки $O$ до плоскости $\alpha$ также является постоянной величиной. Следовательно, выражение $R^2 - OH^2$ есть константа.

Это означает, что для любой точки $A$ на линии пересечения расстояние $HA$ до точки $H$ постоянно. По определению, геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от фиксированной точки в той же плоскости, есть окружность с центром в этой фиксированной точке. Следовательно, линия пересечения является окружностью с центром в точке $H$.

По условию задачи, центром окружности сечения является точка $O_1$. Так как окружность в плоскости имеет единственный центр, то точка $H$ должна совпадать с точкой $O_1$.

Поскольку $H = O_1$ и по построению $OH \perp \alpha$, мы заключаем, что $OO_1 \perp \alpha$. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что $OO_1 \perp \alpha$.