Номер 13.11, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.11. Докажите, что сечения сферы, плоскости которых равноудалены от её центра, имеют равные радиусы.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Рассмотрим два сечения этой сферы плоскостями $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Пусть $d_1$ — расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha_1$, а $d_2$ — расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha_2$. По условию задачи, плоскости равноудалены от центра, что означает $d_1 = d_2$. Обозначим это расстояние как $d$.

Любое сечение сферы плоскостью является окружностью (или точкой, если плоскость касается сферы). Пусть радиус окружности, полученной сечением плоскостью $\alpha_1$, равен $r_1$, а центр этой окружности — точка $O_1$. Аналогично, пусть радиус окружности в сечении плоскостью $\alpha_2$ равен $r_2$, а её центр — точка $O_2$.

Центр окружности сечения $O_1$ является основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы $O$ на плоскость сечения $\alpha_1$. Следовательно, длина отрезка $OO_1$ равна расстоянию $d_1$, то есть $OO_1 = d$.

Возьмём любую точку $A$ на окружности сечения (в плоскости $\alpha_1$). Эта точка также принадлежит и сфере, поэтому расстояние от неё до центра сферы $O$ равно радиусу сферы $R$, то есть $OA = R$. Расстояние от центра сечения $O_1$ до точки $A$ равно радиусу сечения $r_1$, то есть $O_1A = r_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OO_1A$. Так как отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости $\alpha_1$, он перпендикулярен и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $O_1$. Значит, $OO_1 \perp O_1A$. Таким образом, треугольник $\triangle OO_1A$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle OO_1A$ имеем:
$OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2$
Подставив наши обозначения, получим соотношение:
$R^2 = d_1^2 + r_1^2$
Отсюда выразим квадрат радиуса сечения:
$r_1^2 = R^2 - d_1^2$

Проведя абсолютно аналогичные рассуждения для второго сечения (плоскостью $\alpha_2$), мы получим для его радиуса $r_2$ следующее соотношение:
$r_2^2 = R^2 - d_2^2$

По условию задачи, $d_1 = d_2 = d$. Подставим это в полученные выражения:
$r_1^2 = R^2 - d^2$
$r_2^2 = R^2 - d^2$
Отсюда следует, что $r_1^2 = r_2^2$.

Так как радиусы $r_1$ и $r_2$ являются длинами, они не могут быть отрицательными. Поэтому из равенства их квадратов следует и равенство самих радиусов: $r_1 = r_2$.

Таким образом, доказано, что сечения сферы, плоскости которых равноудалены от её центра, имеют равные радиусы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Радиусы сечений равны, так как радиус сечения $r$ связан с радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ от центра сферы до плоскости сечения соотношением $r = \sqrt{R^2 - d^2}$. Поскольку радиус сферы $R$ и расстояние $d$ для рассматриваемых сечений по условию одинаковы, их радиусы $r$ также будут равны.