Номер 13.15, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.15. Расстояние от центра шара, касающегося граней двугранного угла, до его ребра равно 8 см. Найдите площадь большого круга шара, если величина двугранного угла равна 120°.

Пусть $O$ — центр шара, а $r$ — его радиус. Так как шар касается граней двугранного угла, его центр $O$ лежит в биссекторной плоскости этого угла. Рассмотрим сечение, проходящее через центр шара $O$ и перпендикулярное ребру двугранного угла. В этом сечении мы получим большой круг шара, вписанный в линейный угол двугранного угла, величина которого по условию равна $120°$.

Пусть $C$ — точка на ребре двугранного угла, лежащая в плоскости сечения. Тогда $OC$ — это расстояние от центра шара до ребра, и по условию $OC = 8$ см. Пусть $A$ — одна из точек касания круга со стороной угла. Отрезок $OA$ является радиусом круга, $OA = r$, и он перпендикулярен стороне угла в точке касания. Таким образом, треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OAC$.

Центр вписанного круга $O$ лежит на биссектрисе угла, поэтому луч $OC$ делит угол пополам. Следовательно, угол $\angle OCA$ равен половине линейного угла двугранного угла:
$\angle OCA = \frac{120°}{2} = 60°$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$ катет $OA$ (равный радиусу $r$) противолежит углу $\angle OCA$, а $OC$ является гипотенузой. Используя определение синуса, найдем радиус шара:
$\sin(\angle OCA) = \frac{OA}{OC}$
$r = OA = OC \cdot \sin(\angle OCA) = 8 \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим найденное значение радиуса:
$S = \pi (4\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (16 \cdot 3) = 48\pi$ см².

Ответ: $48\pi$ см².