Номер 13.17, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.17. На поверхности шара отмечены точки $A$, $B$ и $C$ такие, что

$AB = BC = 15 \text{ см}, \angle ABC = 120^\circ$.

Найдите расстояние от центра шара до плоскости $ABC$, если его радиус равен 17 см.

Пусть O — центр шара, а R — его радиус, $R = 17$ см. Точки A, B, и C лежат на поверхности шара. Плоскость, проходящая через эти три точки, пересекает шар по окружности. Эта окружность является описанной около треугольника ABC.

Пусть O₁ — центр этой окружности, а $r$ — её радиус. Расстояние от центра шара O до плоскости ABC — это длина перпендикуляра OO₁, обозначим его $d$. Из прямоугольного треугольника OO₁A (где OA — радиус шара, O₁A — радиус сечения), по теореме Пифагора, мы имеем:

$R^2 = d^2 + r^2$

Отсюда, $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Чтобы найти $d$, нам нужно сначала вычислить радиус $r$ описанной окружности треугольника ABC.

1. Найдём сторону AC треугольника ABC.

В треугольнике ABC известны две стороны $AB = BC = 15$ см и угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = - \frac{1}{2}$, то:

$AC^2 = 225 + 225 - 2 \cdot 225 \cdot (-\frac{1}{2}) = 450 + 225 = 675$

$AC = \sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3}$ см.

2. Найдём радиус r описанной окружности.

Радиус описанной окружности $r$ можно найти по формуле, которая является следствием из теоремы синусов:

$r = \frac{AC}{2\sin(\angle ABC)}$

Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$r = \frac{15\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 15$ см.

3. Найдём расстояние d от центра шара до плоскости ABC.

Теперь, зная радиус шара $R = 17$ см и радиус сечения $r = 15$ см, мы можем найти искомое расстояние $d$:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{17^2 - 15^2}$

Используем формулу разности квадратов:

$d = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.