Страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.9. Через конец диаметра шара радиуса $R$ проведена плоскость, образующая с этим диаметром угол $\alpha$, $\alpha \neq 90^\circ$. Найдите площадь образовавшегося сечения шара.

Пусть дан шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ — его диаметр. Через точку $A$ (конец диаметра) проведена плоскость $\Pi$, образующая с диаметром $AB$ угол $\alpha$.

Сечением шара плоскостью является круг. Для того чтобы найти площадь этого круга, необходимо определить его радиус, который мы обозначим как $r$. Площадь сечения $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

Радиус круга сечения $r$ связан с радиусом шара $R$ и расстоянием $d$ от центра шара $O$ до плоскости сечения $\Pi$ соотношением, которое следует из теоремы Пифагора: $r^2 + d^2 = R^2$. Отсюда $r^2 = R^2 - d^2$.

Чтобы найти $r^2$, нам нужно найти расстояние $d$. Опустим перпендикуляр из центра шара $O$ на плоскость $\Pi$. Пусть $C$ — основание этого перпендикуляра. Тогда длина отрезка $OC$ равна искомому расстоянию $d$, то есть $OC = d$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Поскольку $OC$ — перпендикуляр к плоскости $\Pi$, а прямая $AC$ лежит в этой плоскости и проходит через точку $C$, то $OC \perp AC$. Следовательно, треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

В этом треугольнике гипотенузой является отрезок $OA$, который представляет собой радиус шара, поэтому $OA = R$. Катет $OC$ равен $d$.

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Прямая $AC$ является проекцией прямой $OA$ на плоскость $\Pi$. Следовательно, угол $\angle OAC$ — это угол между прямой $OA$ (которая является частью диаметра) и плоскостью $\Pi$. По условию задачи этот угол равен $\alpha$. Таким образом, $\angle OAC = \alpha$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OAC$ имеем соотношение для синуса угла $\alpha$:
$\sin \alpha = \frac{OC}{OA}$

Подставляя известные значения, получаем:
$\sin \alpha = \frac{d}{R}$

Отсюда выражаем расстояние $d$:
$d = R \sin \alpha$.

Теперь мы можем найти квадрат радиуса сечения $r^2$, подставив выражение для $d$ в формулу $r^2 = R^2 - d^2$:
$r^2 = R^2 - (R \sin \alpha)^2 = R^2 - R^2 \sin^2 \alpha$

Вынесем $R^2$ за скобки:
$r^2 = R^2 (1 - \sin^2 \alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Таким образом:
$r^2 = R^2 \cos^2 \alpha$.

Наконец, находим площадь сечения $S$:
$S = \pi r^2 = \pi (R^2 \cos^2 \alpha) = \pi R^2 \cos^2 \alpha$.

Ответ: $\pi R^2 \cos^2 \alpha$.

13.10. Найдите длину линии пересечения сферы с плоскостью, удалённой от центра сферы на 2 см, если радиус сферы, проведённый в одну из точек сечения, образует с плоскостью сечения угол 30°.

Линия пересечения сферы с плоскостью является окружностью. Чтобы найти длину этой линии, необходимо вычислить длину данной окружности по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус этой окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$, радиусом окружности сечения $r$ и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения $d$. В этом треугольнике:

• катет $d$ — это расстояние от центра сферы до плоскости, по условию $d=2$ см;
• катет $r$ — это радиус окружности сечения, который нам нужно найти;
• гипотенуза $R$ — это радиус сферы.

Угол между радиусом сферы, проведенным в точку сечения, и плоскостью сечения по условию равен $30^\circ$. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике этот угол $\alpha$ находится между гипотенузой $R$ и катетом $r$. Катет $d=2$ см является противолежащим этому углу.

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, мы можем связать известный катет $d$, искомый катет $r$ и известный угол $\alpha$:$\tan(\alpha) = \frac{d}{r}$

Подставим известные значения: $\alpha = 30^\circ$ и $d = 2$ см.$\tan(30^\circ) = \frac{2}{r}$

Выразим и найдем радиус сечения $r$:$r = \frac{2}{\tan(30^\circ)}$

Поскольку $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:$r = \frac{2}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная радиус окружности сечения, мы можем найти ее длину $C$:$C = 2\pi r = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\pi\sqrt{3}$ см.

13.11. Докажите, что сечения сферы, плоскости которых равноудалены от её центра, имеют равные радиусы.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Рассмотрим два сечения этой сферы плоскостями $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Пусть $d_1$ — расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha_1$, а $d_2$ — расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha_2$. По условию задачи, плоскости равноудалены от центра, что означает $d_1 = d_2$. Обозначим это расстояние как $d$.

Любое сечение сферы плоскостью является окружностью (или точкой, если плоскость касается сферы). Пусть радиус окружности, полученной сечением плоскостью $\alpha_1$, равен $r_1$, а центр этой окружности — точка $O_1$. Аналогично, пусть радиус окружности в сечении плоскостью $\alpha_2$ равен $r_2$, а её центр — точка $O_2$.

Центр окружности сечения $O_1$ является основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы $O$ на плоскость сечения $\alpha_1$. Следовательно, длина отрезка $OO_1$ равна расстоянию $d_1$, то есть $OO_1 = d$.

Возьмём любую точку $A$ на окружности сечения (в плоскости $\alpha_1$). Эта точка также принадлежит и сфере, поэтому расстояние от неё до центра сферы $O$ равно радиусу сферы $R$, то есть $OA = R$. Расстояние от центра сечения $O_1$ до точки $A$ равно радиусу сечения $r_1$, то есть $O_1A = r_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OO_1A$. Так как отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости $\alpha_1$, он перпендикулярен и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $O_1$. Значит, $OO_1 \perp O_1A$. Таким образом, треугольник $\triangle OO_1A$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle OO_1A$ имеем:
$OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2$
Подставив наши обозначения, получим соотношение:
$R^2 = d_1^2 + r_1^2$
Отсюда выразим квадрат радиуса сечения:
$r_1^2 = R^2 - d_1^2$

Проведя абсолютно аналогичные рассуждения для второго сечения (плоскостью $\alpha_2$), мы получим для его радиуса $r_2$ следующее соотношение:
$r_2^2 = R^2 - d_2^2$

По условию задачи, $d_1 = d_2 = d$. Подставим это в полученные выражения:
$r_1^2 = R^2 - d^2$
$r_2^2 = R^2 - d^2$
Отсюда следует, что $r_1^2 = r_2^2$.

Так как радиусы $r_1$ и $r_2$ являются длинами, они не могут быть отрицательными. Поэтому из равенства их квадратов следует и равенство самих радиусов: $r_1 = r_2$.

Таким образом, доказано, что сечения сферы, плоскости которых равноудалены от её центра, имеют равные радиусы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Радиусы сечений равны, так как радиус сечения $r$ связан с радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ от центра сферы до плоскости сечения соотношением $r = \sqrt{R^2 - d^2}$. Поскольку радиус сферы $R$ и расстояние $d$ для рассматриваемых сечений по условию одинаковы, их радиусы $r$ также будут равны.

13.12 Докажите, что из двух сечений сферы больший радиус имеет сечение, плоскость которого менее удалена от центра сферы.

Рассмотрим сферу с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью (или точкой, если плоскость касается сферы, или пустым множеством). Пусть у нас есть два различных сечения, образованных плоскостями $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Пусть $r_1$ — радиус сечения, образованного плоскостью $\alpha_1$, а $d_1$ — расстояние от центра сферы $O$ до этой плоскости.

Пусть $r_2$ — радиус сечения, образованного плоскостью $\alpha_2$, а $d_2$ — расстояние от центра сферы $O$ до этой плоскости.

Радиус сферы $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра сферы до плоскости сечения $d$ связаны соотношением, которое следует из теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенузой является радиус сферы $R$ (отрезок, соединяющий центр сферы с любой точкой на окружности сечения), а катетами — радиус сечения $r$ и расстояние $d$.

Для любого сечения выполняется равенство:

$R^2 = d^2 + r^2$

Из этого равенства мы можем выразить квадрат радиуса сечения:

$r^2 = R^2 - d^2$

Применим эту формулу к двум нашим сечениям:

$r_1^2 = R^2 - d_1^2$

$r_2^2 = R^2 - d_2^2$

По условию задачи, плоскость одного сечения менее удалена от центра сферы, чем плоскость другого. Без ограничения общности, пусть плоскость $\alpha_1$ находится ближе к центру, чем плоскость $\alpha_2$. Это означает, что:

$d_1 < d_2$

Поскольку $d_1$ и $d_2$ — это расстояния, они являются неотрицательными величинами. Следовательно, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя его знака:

$d_1^2 < d_2^2$

Теперь умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-d_1^2 > -d_2^2$

Прибавим к обеим частям постоянную величину $R^2$ (квадрат радиуса сферы). Знак неравенства не изменится:

$R^2 - d_1^2 > R^2 - d_2^2$

Заменим левую и правую части на соответствующие им квадраты радиусов сечений:

$r_1^2 > r_2^2$

Так как радиусы $r_1$ и $r_2$ являются длинами, они могут быть только положительными числами. Поэтому мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак:

$r_1 > r_2$

Таким образом, доказано, что сечение, плоскость которого менее удалена от центра сферы, имеет больший радиус. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из зависимости $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ следует, что при уменьшении расстояния $d$ от центра сферы до плоскости сечения, радиус сечения $r$ увеличивается, достигая максимума ($r = R$) при $d=0$ (когда плоскость проходит через центр сферы).

13.13. Чему равен радиус сферы, касающейся плоскостей $y = -4$ и $y = 10$?

13.13.

Даны две плоскости, заданные уравнениями $y = -4$ и $y = 10$. Эти плоскости параллельны друг другу и плоскости $Oxz$.

Сфера касается этих двух плоскостей. Это означает, что расстояние между точками касания, которые лежат на одном диаметре, перпендикулярном обеим плоскостям, равно диаметру сферы. Следовательно, диаметр сферы $D$ равен расстоянию между данными параллельными плоскостями.

Расстояние $d$ между двумя параллельными плоскостями, заданными уравнениями $y = y_1$ и $y = y_2$, вычисляется по формуле:

$d = |y_2 - y_1|$

Подставим значения $y_1 = -4$ и $y_2 = 10$:

$d = |10 - (-4)| = |10 + 4| = 14$

Таким образом, диаметр сферы $D$ равен 14.

Радиус сферы $R$ равен половине ее диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Ответ: 7

13.14. Сфера, радиус которой равен $R$, касается граней двугранного угла, равного $\alpha$. Найдите расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла.

Для решения задачи рассмотрим сечение, которое проходит через центр сферы и перпендикулярно ребру двугранного угла. В этом сечении мы получим окружность, вписанную в угол, равный линейному углу двугранного угла, то есть $\alpha$.

Пусть $O$ — центр сферы (и, соответственно, центр окружности в сечении), $R$ — её радиус. Пусть $A$ — точка на ребре двугранного угла, лежащая в плоскости сечения (вершина угла $\alpha$). Расстояние, которое нам нужно найти, — это длина отрезка $OA$.

Пусть грани двугранного угла касаются сферы в точках $B$ и $C$. В нашем сечении это будут точки касания окружности сторон угла. Проведём радиусы $OB$ и $OC$ к точкам касания. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$, где $AB$ и $AC$ — лучи, образующие угол $\alpha$ в сечении. Длины этих радиусов равны $R$, то есть $OB = OC = R$.

Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч $AO$ — биссектриса угла $\alpha$. Это означает, что угол $\angle OAB$ равен половине угла $\alpha$:

$\angle OAB = \frac{\alpha}{2}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAB$ (с прямым углом при вершине $B$). В этом треугольнике:

• $OB = R$ — катет, противолежащий углу $\angle OAB$.
• $OA$ — гипотенуза, которую мы ищем.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle OAB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OB}{OA}$

Подставим известные значения:

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{R}{OA}$

Из этого соотношения выразим искомое расстояние $OA$:

$OA = \frac{R}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Ответ: $\frac{R}{\sin(\alpha/2)}$

13.15. Расстояние от центра шара, касающегося граней двугранного угла, до его ребра равно 8 см. Найдите площадь большого круга шара, если величина двугранного угла равна 120°.

Пусть $O$ — центр шара, а $r$ — его радиус. Так как шар касается граней двугранного угла, его центр $O$ лежит в биссекторной плоскости этого угла. Рассмотрим сечение, проходящее через центр шара $O$ и перпендикулярное ребру двугранного угла. В этом сечении мы получим большой круг шара, вписанный в линейный угол двугранного угла, величина которого по условию равна $120°$.

Пусть $C$ — точка на ребре двугранного угла, лежащая в плоскости сечения. Тогда $OC$ — это расстояние от центра шара до ребра, и по условию $OC = 8$ см. Пусть $A$ — одна из точек касания круга со стороной угла. Отрезок $OA$ является радиусом круга, $OA = r$, и он перпендикулярен стороне угла в точке касания. Таким образом, треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OAC$.

Центр вписанного круга $O$ лежит на биссектрисе угла, поэтому луч $OC$ делит угол пополам. Следовательно, угол $\angle OCA$ равен половине линейного угла двугранного угла:
$\angle OCA = \frac{120°}{2} = 60°$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$ катет $OA$ (равный радиусу $r$) противолежит углу $\angle OCA$, а $OC$ является гипотенузой. Используя определение синуса, найдем радиус шара:
$\sin(\angle OCA) = \frac{OA}{OC}$
$r = OA = OC \cdot \sin(\angle OCA) = 8 \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим найденное значение радиуса:
$S = \pi (4\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (16 \cdot 3) = 48\pi$ см².

Ответ: $48\pi$ см².

13.16. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 26 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его стороны равны 12 см и 16 см.

Пусть $R$ - радиус сферы, $h$ - искомое расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника. Вершины прямоугольника лежат на сфере, следовательно, они лежат на окружности, которая является сечением сферы плоскостью прямоугольника. Пусть $r$ - радиус этой окружности. Величины $R$, $h$ и $r$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $R^2 = h^2 + r^2$.

Центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения его диагоналей, а её радиус $r$ равен половине диагонали $d$. Найдем диагональ прямоугольника по теореме Пифагора, зная его стороны $a = 12$ см и $b = 16$ см:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь найдем радиус сечения $r$:
$r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Из соотношения $R^2 = h^2 + r^2$ выразим искомую высоту $h$. Нам известно, что радиус сферы $R = 26$ см.
$h = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{26^2 - 10^2}$
$h = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$ см.

Ответ: 24 см.

13.17. На поверхности шара отмечены точки $A$, $B$ и $C$ такие, что

$AB = BC = 15 \text{ см}, \angle ABC = 120^\circ$.

Найдите расстояние от центра шара до плоскости $ABC$, если его радиус равен 17 см.

Пусть O — центр шара, а R — его радиус, $R = 17$ см. Точки A, B, и C лежат на поверхности шара. Плоскость, проходящая через эти три точки, пересекает шар по окружности. Эта окружность является описанной около треугольника ABC.

Пусть O₁ — центр этой окружности, а $r$ — её радиус. Расстояние от центра шара O до плоскости ABC — это длина перпендикуляра OO₁, обозначим его $d$. Из прямоугольного треугольника OO₁A (где OA — радиус шара, O₁A — радиус сечения), по теореме Пифагора, мы имеем:

$R^2 = d^2 + r^2$

Отсюда, $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Чтобы найти $d$, нам нужно сначала вычислить радиус $r$ описанной окружности треугольника ABC.

1. Найдём сторону AC треугольника ABC.

В треугольнике ABC известны две стороны $AB = BC = 15$ см и угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = - \frac{1}{2}$, то:

$AC^2 = 225 + 225 - 2 \cdot 225 \cdot (-\frac{1}{2}) = 450 + 225 = 675$

$AC = \sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3}$ см.

2. Найдём радиус r описанной окружности.

Радиус описанной окружности $r$ можно найти по формуле, которая является следствием из теоремы синусов:

$r = \frac{AC}{2\sin(\angle ABC)}$

Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$r = \frac{15\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 15$ см.

3. Найдём расстояние d от центра шара до плоскости ABC.

Теперь, зная радиус шара $R = 17$ см и радиус сечения $r = 15$ см, мы можем найти искомое расстояние $d$:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{17^2 - 15^2}$

Используем формулу разности квадратов:

$d = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

13.18. Вершины треугольника со сторонами 1 см, $\sqrt{3}$ см и 2 см лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если расстояние от её центра до плоскости этого треугольника равно $4\sqrt{3}$ см.

Пусть стороны треугольника равны $a = 1$ см, $b = \sqrt{3}$ см и $c = 2$ см.

Определение типа треугольника и радиуса описанной окружности
Сначала определим вид треугольника. Для этого проверим, выполняется ли для его сторон теорема Пифагора. Найдем квадраты длин сторон:
$a^2 = 1^2 = 1$
$b^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$
$c^2 = 2^2 = 4$
Поскольку $a^2 + b^2 = 1 + 3 = 4 = c^2$, то, согласно обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Сторона $c=2$ см является его гипотенузой.
Вершины треугольника лежат на сфере, а значит, они также лежат на окружности, которая является сечением сферы плоскостью треугольника. Эта окружность является описанной около данного треугольника. Радиус $r$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы.$r = \frac{c}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Нахождение радиуса сферы
Радиус сферы $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ от центра сферы до плоскости сечения образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $r$ и $d$ — катеты. Таким образом, они связаны соотношением:
$R^2 = r^2 + d^2$
По условию задачи, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника $d = 4\sqrt{3}$ см. Ранее мы нашли, что радиус описанной окружности $r = 1$ см.
Подставим известные значения в формулу:
$R^2 = 1^2 + (4\sqrt{3})^2 = 1 + 16 \cdot 3 = 1 + 48 = 49$
Отсюда находим радиус сферы:
$R = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

13.19. Расстояние между равновеликими параллельными сечениями шара, радиус которого 15 см, равно 18 см. Найдите площадь каждого из этих сечений.

Пусть $R$ — радиус шара, $r$ — радиус каждого из сечений, а $S$ — их площадь. По условию, радиус шара $R = 15$ см.

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. По условию, два параллельных сечения равновелики, то есть имеют одинаковую площадь. Это возможно только в том случае, если они находятся на одинаковом расстоянии от центра шара, но по разные стороны от него.

Расстояние между сечениями равно 18 см. Обозначим расстояние от центра шара до каждого из сечений как $h$. Тогда расстояние между сечениями равно $2h$.

$2h = 18$ см, следовательно, $h = \frac{18}{2} = 9$ см.

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $h$ связаны соотношением, которое следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, где $R$ — гипотенуза, а $r$ и $h$ — катеты:

$R^2 = h^2 + r^2$

Из этого уравнения мы можем выразить квадрат радиуса сечения $r^2$:

$r^2 = R^2 - h^2$

Подставим известные значения $R = 15$ см и $h = 9$ см:

$r^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$ см$^2$.

Площадь круга (сечения) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим найденное значение $r^2$:

$S = \pi \cdot 144 = 144\pi$ см$^2$.

Так как сечения равновелики, площадь каждого из них одинакова.

Ответ: $144\pi$ см$^2$.

13.20. На радиусе $OA$ сферы с центром $O$ отмечены точки $B$ и $C$, причём точка $B$ лежит между точками $O$ и $C$. Через каждую из точек $B$ и $C$ проведена плоскость, перпендикулярная прямой $OA$. Окружности, образовавшиеся в сечении, имеют длины $24\pi$ см и $18\pi$ см, а расстояние между этими плоскостями равно $3$ см. Найдите радиус сферы.

Пусть $R$ — радиус сферы, а $O$ — её центр. На радиусе $OA$ отмечены точки $B$ и $C$. Через эти точки проведены плоскости, перпендикулярные $OA$, которые образуют в сечении сферы окружности.

Пусть $r_B$ и $r_C$ — радиусы окружностей, образованных сечениями, проходящими через точки $B$ и $C$ соответственно. Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$.

Из условия известно, что длины окружностей равны $24\pi$ см и $18\pi$ см. Так как точка $B$ лежит между центром $O$ и точкой $C$ ($O-B-C$), то сечение, проходящее через точку $B$, находится ближе к центру сферы и, следовательно, имеет больший радиус.

Найдем радиусы окружностей в сечениях:
Для сечения через точку $B$: $L_B = 2\pi r_B = 24\pi$ см. Отсюда $r_B = \frac{24\pi}{2\pi} = 12$ см.
Для сечения через точку $C$: $L_C = 2\pi r_C = 18\pi$ см. Отсюда $r_C = \frac{18\pi}{2\pi} = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные в осевом сечении сферы. Катетами этих треугольников являются расстояние от центра сферы до плоскости сечения ($OB$ и $OC$) и радиусы сечений ($r_B$ и $r_C$), а гипотенузой — радиус сферы $R$.

По теореме Пифагора имеем два уравнения:
1) $R^2 = OB^2 + r_B^2$
2) $R^2 = OC^2 + r_C^2$

Подставим найденные значения $r_B$ и $r_C$:
1) $R^2 = OB^2 + 12^2 = OB^2 + 144$
2) $R^2 = OC^2 + 9^2 = OC^2 + 81$

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем и правые части:
$OB^2 + 144 = OC^2 + 81$

Из условия известно, что расстояние между плоскостями равно 3 см, то есть $BC = 3$ см. Так как точка $B$ лежит между $O$ и $C$, то $OC = OB + BC = OB + 3$. Подставим это выражение в наше уравнение:
$OB^2 + 144 = (OB + 3)^2 + 81$
$OB^2 + 144 = OB^2 + 6 \cdot OB + 9 + 81$
$OB^2 + 144 = OB^2 + 6 \cdot OB + 90$

Сократим $OB^2$ в обеих частях и решим уравнение относительно $OB$:
$144 = 6 \cdot OB + 90$
$6 \cdot OB = 144 - 90$
$6 \cdot OB = 54$
$OB = 9$ см.

Теперь найдем радиус сферы $R$, подставив значение $OB$ в первое уравнение:
$R^2 = OB^2 + 144$
$R^2 = 9^2 + 144 = 81 + 144 = 225$
$R = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

13.21. Через точку A (-12; 3; -4), принадлежащую сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 169$, проведена плоскость, перпендикулярная оси абсцисс. Найдите длину окружности, образовавшейся в сечении.

Уравнение сферы задано в виде $x^2 + y^2 + z^2 = 169$. Это каноническое уравнение сферы с центром в начале координат $O(0; 0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{169} = 13$.

По условию задачи, через точку $A(-12; 3; -4)$ проведена плоскость, перпендикулярная оси абсцисс (оси $Ox$). Уравнение любой плоскости, перпендикулярной оси $Ox$, имеет вид $x = c$, где $c$ — постоянная.

Поскольку плоскость проходит через точку $A$, ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Абсцисса точки $A$ равна -12, следовательно, уравнение секущей плоскости: $x = -12$.

При пересечении сферы плоскостью образуется окружность. Чтобы найти параметры этой окружности, подставим уравнение плоскости $x = -12$ в уравнение сферы: $(-12)^2 + y^2 + z^2 = 169$ $144 + y^2 + z^2 = 169$

Выразим $y^2 + z^2$: $y^2 + z^2 = 169 - 144$ $y^2 + z^2 = 25$

Полученное уравнение $y^2 + z^2 = 25$ является уравнением окружности, лежащей в плоскости $x = -12$. Из этого уравнения видно, что квадрат радиуса этой окружности $r^2 = 25$, значит, ее радиус $r = \sqrt{25} = 5$.

Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$. Подставим найденное значение радиуса $r = 5$: $L = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi$.

Ответ: $10\pi$.

13.22. Через точку $B (2; -3; 6)$, принадлежащую сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 49$, проведена плоскость, перпендикулярная оси аппликат. Найдите площадь образовавшегося сечения шара, ограниченного данной сферой.

Уравнение сферы с центром в начале координат $O(0; 0; 0)$ и радиусом $R$ имеет вид $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.

Из уравнения данной сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 49$ следует, что ее центр находится в начале координат, а ее радиус $R$ равен $\sqrt{49} = 7$.

По условию задачи, через точку $B(2; -3; 6)$ проведена плоскость, перпендикулярная оси аппликат (оси $Oz$). Уравнение любой плоскости, перпендикулярной оси $Oz$, имеет вид $z = c$, где $c$ - некоторая константа.

Так как эта плоскость проходит через точку $B(2; -3; 6)$, координата $z$ для всех точек этой плоскости должна быть равна 6. Следовательно, уравнение секущей плоскости: $z = 6$.

Сечением шара плоскостью является круг. Чтобы найти площадь этого круга, необходимо определить его радиус $r$.

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ от центра шара до секущей плоскости связаны соотношением по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.

Центр шара - точка $O(0; 0; 0)$. Расстояние $d$ от центра шара до плоскости $z=6$ равно 6.

Подставим известные значения в формулу:

$7^2 = 6^2 + r^2$

$49 = 36 + r^2$

$r^2 = 49 - 36$

$r^2 = 13$

Площадь сечения $S$ (площадь круга радиусом $r$) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

Подставив найденное значение $r^2$, получаем:

$S = \pi \cdot 13 = 13\pi$

Ответ: $13\pi$.