Страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.23. Какая фигура является геометрическим местом центров сфер, которые:

1) касаются данной плоскости в данной точке;

2) имеют данный радиус и касаются данной плоскости?

1) Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $M$, лежащая в этой плоскости. Сфера касается плоскости $\alpha$ в точке $M$. Пусть $O$ — центр этой сферы, а $R$ — её радиус. По определению касания сферы и плоскости, они имеют только одну общую точку ($M$), и радиус, проведенный в точку касания ($OM$), перпендикулярен касательной плоскости.
Это означает, что центр сферы $O$ должен лежать на прямой, которая проходит через точку $M$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Любая точка на этой прямой (кроме самой точки $M$) может быть центром сферы, касающейся плоскости $\alpha$ в точке $M$. Радиус такой сферы будет равен расстоянию от ее центра до точки $M$.
Таким образом, геометрическим местом центров таких сфер является прямая, проходящая через данную точку касания и перпендикулярная данной плоскости, за исключением самой точки касания. Однако, если рассматривать точку касания как центр сферы нулевого радиуса, то можно включить и её. В классической геометрии обычно имеют в виду всю прямую.
Ответ: Прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной плоскости.

2) Пусть дана плоскость $\alpha$ и радиус $R > 0$. Если сфера радиуса $R$ с центром в точке $O$ касается плоскости $\alpha$, то расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha$ должно быть равно радиусу $R$.
Геометрическое место точек в пространстве, находящихся на заданном расстоянии $R$ от данной плоскости $\alpha$, представляет собой две плоскости, параллельные плоскости $\alpha$ и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии $R$.
Каждая точка, принадлежащая одной из этих двух плоскостей, может служить центром сферы радиуса $R$, которая будет касаться данной плоскости $\alpha$.
Ответ: Две плоскости, параллельные данной плоскости и отстоящие от нее на расстояние, равное данному радиусу.

13.24. Радиус сферы равен 40 см. Точка $A$, принадлежащая плоскости, касающейся этой сферы, удалена от точки касания на 9 см. Найдите расстояние от точки $A$ до ближайшей к ней точки сферы.

Пусть O — центр сферы, R — ее радиус, T — точка касания плоскости и сферы. Точка A лежит в касательной плоскости.

По условию задачи дано:

• Радиус сферы: $R = OT = 40$ см.
• Расстояние от точки A до точки касания: $AT = 9$ см.

Радиус, проведенный в точку касания (OT), перпендикулярен касательной плоскости. Следовательно, треугольник $\triangle OAT$ является прямоугольным, где $\angle OTA = 90^\circ$. Катеты этого треугольника — OT и AT, а гипотенуза — OA.

Найдем расстояние от точки A до центра сферы O, используя теорему Пифагора: $OA^2 = OT^2 + AT^2$ $OA^2 = 40^2 + 9^2 = 1600 + 81 = 1681$ $OA = \sqrt{1681} = 41$ см.

Ближайшая к точке A точка на сфере (обозначим ее P) лежит на прямой, соединяющей точку A с центром сферы O. Расстояние от точки A до этой ближайшей точки P равно разности расстояния от A до центра сферы (OA) и радиуса сферы (R).

$AP = OA - R$ $AP = 41 - 40 = 1$ см.

Ответ: 1 см.

13.25. Через точку $M$ сферы радиуса 112 см проведена касательная плоскость. На этой плоскости отмечена точка $K$, расстояние от которой до наиболее удалённой от неё точки сферы равно 225 см. Найдите расстояние между точками $M$ и $K$.

Пусть $O$ — центр сферы, $R$ — её радиус, $\alpha$ — касательная плоскость, $M$ — точка касания, $K$ — точка на плоскости $\alpha$.

По условию, радиус сферы $R = 112$ см.

По свойству касательной плоскости, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, отрезок $OM$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Так как прямая $MK$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $M$, то $OM \perp MK$. Это означает, что треугольник $\triangle OMK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Наиболее удалённая от точки $K$ точка сферы (обозначим её $N$) лежит на прямой, проходящей через центр сферы $O$ и точку $K$. При этом центр $O$ находится между точками $K$ и $N$. Расстояние от точки $K$ до точки $N$ равно сумме расстояния от $K$ до центра сферы ($KO$) и радиуса сферы ($ON = R$).

По условию, расстояние $KN = 225$ см. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$KN = KO + R$

$225 = KO + 112$

Отсюда находим расстояние от точки $K$ до центра сферы $O$:

$KO = 225 - 112 = 113$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMK$. По теореме Пифагора:

$KO^2 = OM^2 + MK^2$

Где $KO = 113$ см (гипотенуза) и $OM = R = 112$ см (катет). Выразим и найдём искомое расстояние $MK$ (второй катет):

$MK^2 = KO^2 - OM^2$

$MK^2 = 113^2 - 112^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$MK^2 = (113 - 112)(113 + 112) = 1 \cdot 225 = 225$

$MK = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

13.26. Два шара, радиусы которых равны 7 см и 9 см, имеют общий центр. Плоскость $\alpha$ касается меньшего шара. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью $\alpha$.

Пусть $O$ — общий центр двух шаров. Радиус меньшего шара $r = 7$ см, а радиус большего шара $R = 9$ см.

Плоскость $\alpha$ касается меньшего шара. Это означает, что расстояние от центра шаров $O$ до плоскости $\alpha$ равно радиусу меньшего шара, то есть $d = r = 7$ см.

Сечение большего шара плоскостью $\alpha$ представляет собой круг. Найдем радиус этого круга, обозначим его $r_{сеч}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом большего шара $R$ (гипотенуза), расстоянием от центра до плоскости $d$ (катет) и радиусом сечения $r_{сеч}$ (второй катет).

По теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + r_{сеч}^2$

Подставим известные значения:

$9^2 = 7^2 + r_{сеч}^2$

$81 = 49 + r_{сеч}^2$

$r_{сеч}^2 = 81 - 49$

$r_{сеч}^2 = 32$

Площадь сечения $S$ — это площадь круга с радиусом $r_{сеч}$. Формула для площади круга: $S = \pi r^2$.

В нашем случае:

$S = \pi \cdot r_{сеч}^2 = \pi \cdot 32 = 32\pi$ см$^2$.

Ответ: $32\pi$ см$^2$.

13.27. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку $M (10; -10; 8)$.

Уравнение сферы с центром в точке $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Из условия, что сфера касается каждой из координатных плоскостей ($Oxy$, $Oxz$, $Oyz$), следует, что расстояние от её центра до каждой из этих плоскостей равно радиусу $R$. Это означает, что $|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$.

Сфера проходит через точку $M(10; -10; 8)$. Координаты этой точки положительны по оси $Ox$, отрицательны по оси $Oy$ и положительны по оси $Oz$. Поскольку сфера касается координатных плоскостей, её центр должен находиться в том же пространственном октанте, что и точка $M$. Следовательно, координаты центра $C(x_0, y_0, z_0)$ должны иметь соответствующие знаки: $x_0 > 0$, $y_0 < 0$, $z_0 > 0$.

Совмещая эти условия, получаем координаты центра сферы: $x_0 = R$, $y_0 = -R$ и $z_0 = R$. Таким образом, центр сферы — это точка $C(R, -R, R)$.

Подставим координаты центра в общее уравнение сферы: $(x - R)^2 + (y - (-R))^2 + (z - R)^2 = R^2$ , что равносильно $(x - R)^2 + (y + R)^2 + (z - R)^2 = R^2$.

Поскольку точка $M(10; -10; 8)$ принадлежит сфере, её координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим их, чтобы найти $R$: $(10 - R)^2 + (-10 + R)^2 + (8 - R)^2 = R^2$.

Упростим полученное уравнение, заметив, что $(-10 + R)^2 = (10 - R)^2$: $2(10 - R)^2 + (8 - R)^2 = R^2$ $2(100 - 20R + R^2) + (64 - 16R + R^2) = R^2$ $200 - 40R + 2R^2 + 64 - 16R + R^2 = R^2$ $3R^2 - 56R + 264 = R^2$ $2R^2 - 56R + 264 = 0$.

Разделив обе части на 2, получим приведённое квадратное уравнение: $R^2 - 28R + 132 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 132 = 784 - 528 = 256$. Корни уравнения: $R_1 = \frac{28 - \sqrt{256}}{2} = \frac{28 - 16}{2} = \frac{12}{2} = 6$. $R_2 = \frac{28 + \sqrt{256}}{2} = \frac{28 + 16}{2} = \frac{44}{2} = 22$.

Мы получили два возможных значения для радиуса, что означает существование двух сфер, удовлетворяющих заданным условиям.

Для первого случая, когда $R=6$, центр сферы находится в точке $C_1(6, -6, 6)$. Уравнение этой сферы: $(x - 6)^2 + (y + 6)^2 + (z - 6)^2 = 6^2 = 36$.

Для второго случая, когда $R=22$, центр сферы находится в точке $C_2(22, -22, 22)$. Уравнение этой сферы: $(x - 22)^2 + (y + 22)^2 + (z - 22)^2 = 22^2 = 484$.

Ответ: $(x - 6)^2 + (y + 6)^2 + (z - 6)^2 = 36$ и $(x - 22)^2 + (y + 22)^2 + (z - 22)^2 = 484$.

13.28. Составьте уравнение сферы радиуса 4, касающейся каждой из координатных плоскостей, если абсцисса и ордината центра сферы — отрицательные числа, а аппликата — положительное.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

По условию задачи, радиус сферы $R = 4$.

Сфера касается каждой из координатных плоскостей ($Oxy$, $Oxz$, $Oyz$). Это означает, что расстояние от центра сферы до каждой из этих плоскостей равно радиусу сферы. Расстояние от центра $C(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $Oyz$ (уравнение $x=0$) равно $|x_0|$, до плоскости $Oxz$ (уравнение $y=0$) равно $|y_0|$, и до плоскости $Oxy$ (уравнение $z=0$) равно $|z_0|$.

Следовательно, мы имеем систему равенств:

$|x_0| = R = 4$

$|y_0| = R = 4$

$|z_0| = R = 4$

Из условия задачи известно, что абсцисса ($x_0$) и ордината ($y_0$) центра сферы — отрицательные числа, а аппликата ($z_0$) — положительное. Отсюда находим точные координаты центра:

$x_0 = -4$

$y_0 = -4$

$z_0 = 4$

Таким образом, центр сферы находится в точке $C(-4; -4; 4)$.

Подставим найденные координаты центра и значение радиуса в общее уравнение сферы:

$(x - (-4))^2 + (y - (-4))^2 + (z - 4)^2 = 4^2$

Упрощая, получаем искомое уравнение:

$(x + 4)^2 + (y + 4)^2 + (z - 4)^2 = 16$

Ответ: $(x + 4)^2 + (y + 4)^2 + (z - 4)^2 = 16$

13.29. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ в точке $A (-2; 1; 2)$.

Дано уравнение сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 9$. Это каноническое уравнение сферы, из которого следует, что ее центр находится в начале координат, точке $O(0; 0; 0)$, а радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

Плоскость, касающаяся сферы в некоторой точке, перпендикулярна радиусу, проведенному из центра сферы в эту точку. Таким образом, вектор, соединяющий центр сферы $O$ и точку касания $A(-2; 1; 2)$, является вектором нормали к искомой плоскости.

Найдем координаты вектора нормали $\vec{n}$, который совпадает с вектором $\vec{OA}$:
$\vec{n} = \vec{OA} = (x_A - x_O; y_A - y_O; z_A - z_O) = (-2 - 0; 1 - 0; 2 - 0) = \{-2; 1; 2\}$.

Теперь, зная точку $A(-2; 1; 2)$, через которую проходит плоскость, и ее вектор нормали $\vec{n} = \{-2; 1; 2\}$, мы можем составить уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\{A; B; C\}$, имеет вид:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

Подставим наши значения:
$-2(x - (-2)) + 1(y - 1) + 2(z - 2) = 0$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к общему виду:
$-2(x + 2) + y - 1 + 2z - 4 = 0$
$-2x - 4 + y - 1 + 2z - 4 = 0$
$-2x + y + 2z - 9 = 0$.

Умножив обе части уравнения на -1, можно получить эквивалентную форму: $2x - y - 2z + 9 = 0$. Обе формы являются правильным ответом.

Ответ: $-2x + y + 2z - 9 = 0$.

13.30. Точки $A, B, C, D, E$ и $F$ принадлежат сфере. Докажите, что прямые, перпендикулярные плоскостям $ABC$ и $DEF$ и проходящие через центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $DEF$, пересекаются или совпадают.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По условию, точки $A, B, C, D, E$ и $F$ принадлежат этой сфере. Это означает, что все эти точки равноудалены от центра сферы $O$.

Рассмотрим прямую, о которой говорится в задаче для треугольника $ABC$. Эта прямая перпендикулярна плоскости $ABC$ и проходит через центр описанной окружности треугольника $ABC$. Обозначим эту прямую $l_1$.

Известно, что геометрическим местом точек в пространстве, равноудаленных от трех вершин треугольника (в данном случае $A, B, C$), является прямая, перпендикулярная плоскости этого треугольника и проходящая через центр его описанной окружности. То есть, это в точности прямая $l_1$.

Поскольку точки $A, B, C$ лежат на сфере с центром $O$, то расстояния от центра сферы до этих точек равны радиусу сферы: $OA = OB = OC = R$. Таким образом, точка $O$ равноудалена от вершин $A, B, C$. Следовательно, центр сферы $O$ принадлежит прямой $l_1$.

Аналогичные рассуждения проведем для треугольника $DEF$. Прямая $l_2$, перпендикулярная плоскости $DEF$ и проходящая через центр описанной окружности треугольника $DEF$, является геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин $D, E, F$.

Так как точки $D, E, F$ лежат на той же сфере, ее центр $O$ равноудален и от этих точек: $OD = OE = OF = R$. Следовательно, центр сферы $O$ также принадлежит прямой $l_2$.

Таким образом, мы установили, что обе прямые, $l_1$ и $l_2$, проходят через одну и ту же точку — центр сферы $O$. Две прямые в трехмерном пространстве, имеющие общую точку, либо пересекаются в этой точке, либо совпадают.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Обе рассматриваемые прямые проходят через центр сферы, которой принадлежат все шесть точек. Следовательно, эти прямые имеют общую точку, а значит, они пересекаются или совпадают.

13.31. Через точку к сфере проведены касательные. Найдите геометрическое место точек касания.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $P$ — точка, из которой к сфере проводятся касательные. Для нахождения геометрического места точек касания необходимо рассмотреть все возможные случаи расположения точки $P$ относительно сферы.

Наиболее содержательным является случай, когда точка $P$ находится вне сферы. Пусть $T$ — произвольная точка касания. Прямая $PT$ является касательной к сфере в точке $T$. По определению касательной, радиус $OT$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной прямой $PT$. Таким образом, треугольник $\triangle POT$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.

Это свойство выполняется для всех точек касания. Все они, во-первых, лежат на исходной сфере. Во-вторых, все они лежат на сфере, построенной на отрезке $PO$ как на диаметре (так как из любой точки этой сферы отрезок $PO$ виден под прямым углом). Следовательно, искомое геометрическое место точек касания является линией пересечения этих двух сфер. Пересечение двух сфер представляет собой окружность. Плоскость этой окружности перпендикулярна линии их центров, то есть прямой $PO$.

Рассмотрим два других случая. Если точка $P$ лежит на сфере, то существует единственная точка касания — сама точка $P$. Геометрическое место точек в этом случае состоит из одной точки.

Если же точка $P$ находится внутри сферы, то провести касательную к сфере через эту точку невозможно. В этом случае искомое геометрическое место точек является пустым множеством.

Ответ: Если точка находится вне сферы, то геометрическое место точек касания — это окружность; если точка лежит на сфере — это сама точка; если точка находится внутри сферы — пустое множество.

13.32. Через точку $A$ проведены касательные к сфере. Расстояние от точки $A$ до точек касания равно 40 см, а до ближайшей к ней точки сферы — 20 см. Найдите длину линии, которая является геометрическим местом точек касания.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Пусть $A$ — данная точка, из которой проведены касательные.

Пусть $T$ — любая точка касания на сфере. Тогда отрезок $AT$ является касательной, и по условию его длина $AT = 40$ см. Радиус $OT$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной $AT$. Таким образом, треугольник $\triangle AOT$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.

Ближайшая к точке $A$ точка сферы, назовем ее $B$, лежит на прямой, соединяющей точку $A$ с центром сферы $O$. Расстояние от $A$ до этой точки по условию равно $AB = 20$ см. Расстояние от точки $A$ до центра сферы $O$ равно $AO = AB + BO = 20 + R$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOT$ катеты равны $AT = 40$ см и $OT = R$, а гипотенуза равна $AO = 20 + R$. По теореме Пифагора: $AO^2 = AT^2 + OT^2$

Подставим известные значения в уравнение: $(20 + R)^2 = 40^2 + R^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $R$: $400 + 40R + R^2 = 1600 + R^2$ $400 + 40R = 1600$ $40R = 1600 - 400$ $40R = 1200$ $R = \frac{1200}{40} = 30$ см.

Таким образом, радиус сферы равен 30 см. Теперь мы можем найти расстояние от точки $A$ до центра сферы: $AO = 20 + R = 20 + 30 = 50$ см.

Геометрическим местом точек касания является окружность, которая лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $AO$. Радиус этой окружности, обозначим его $r$, является высотой прямоугольного треугольника $\triangle AOT$, опущенной из вершины прямого угла $T$ на гипотенузу $AO$.

Высоту $r$ можно найти, приравняв площади треугольника $\triangle AOT$, вычисленные разными способами: $S = \frac{1}{2} \cdot AT \cdot OT = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot r$ Отсюда следует: $AT \cdot OT = AO \cdot r$ $r = \frac{AT \cdot OT}{AO}$

Подставим численные значения: $r = \frac{40 \cdot 30}{50} = \frac{1200}{50} = 24$ см.

Искомая длина линии — это длина окружности (длина линии касания) с радиусом $r = 24$ см. Длина окружности $L$ вычисляется по формуле: $L = 2\pi r$ $L = 2 \cdot \pi \cdot 24 = 48\pi$ см.

Ответ: $48\pi$ см.

13.33. Стороны треугольника равны 17 см, 28 см и 39 см и касаются данной сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости этого треугольника равно 12 см. Найдите радиус сферы.

Пусть дан треугольник со сторонами $a = 17$ см, $b = 28$ см и $c = 39$ см. Стороны этого треугольника касаются сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы до каждой из прямых, содержащих стороны треугольника, равно радиусу сферы $R$.

Обозначим центр сферы как $O$. Пусть $O'$ — это проекция центра сферы на плоскость треугольника. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра $OO'$, и по условию оно равно $d = 12$ см.

Поскольку точка $O$ равноудалена от прямых, содержащих стороны треугольника, её проекция $O'$ на плоскость этого треугольника будет равноудалена от этих же прямых. Точка, равноудалённая от сторон треугольника, является центром вписанной в него окружности.

Таким образом, $O'$ — это центр вписанной в треугольник окружности, а расстояние от $O'$ до сторон треугольника — это радиус вписанной окружности $r$.

Радиус сферы $R$, радиус вписанной окружности $r$ и расстояние от центра сферы до плоскости треугольника $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $r$ и $d$ — катеты. Следовательно, они связаны теоремой Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.

Для нахождения радиуса сферы $R$ нам необходимо сначала вычислить радиус вписанной окружности $r$. Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Сначала найдём полупериметр треугольника:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{17+28+39}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

Затем найдём площадь треугольника по формуле Герона:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$S = \sqrt{42(42-17)(42-28)(42-39)} = \sqrt{42 \cdot 25 \cdot 14 \cdot 3}$$S = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot 5^2 \cdot (2 \cdot 7) \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ см$^2$.

Теперь вычислим радиус вписанной окружности:$r = \frac{S}{p} = \frac{210}{42} = 5$ см.

Наконец, найдём радиус сферы $R$, используя теорему Пифагора:$R^2 = d^2 + r^2$$R^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

13.34. Стороны ромба касаются сферы, диаметр которой равен $a$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба, если его сторона равна $a$, а острый угол равен $\alpha$.

Пусть центр сферы находится в точке $O$, а ее радиус равен $R$. По условию задачи, диаметр сферы равен $a$, следовательно, ее радиус $R = \frac{a}{2}$. Пусть искомое расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно $h$.

Обозначим плоскость, в которой лежит ромб, через $\Pi$. Пусть $O'$ — это ортогональная проекция центра сферы $O$ на плоскость $\Pi$. Тогда длина перпендикуляра $OO'$ и есть искомое расстояние $h$.

По условию, каждая сторона ромба касается сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы $O$ до каждой из четырех прямых, содержащих стороны ромба, равно радиусу сферы $R$.

Рассмотрим одну из сторон ромба, лежащую на прямой $l$. Пусть $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $l$. Тогда $OK = R = \frac{a}{2}$. Точка $K$ лежит на прямой $l$, а значит, и в плоскости $\Pi$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO'K$. В этом треугольнике катет $OO'$ перпендикулярен плоскости $\Pi$, а катет $O'K$ лежит в этой плоскости, значит, $\angle OO'K = 90^\circ$. По теореме Пифагора имеем:$OK^2 = OO'^2 + O'K^2$

Из этой формулы мы можем выразить искомое расстояние $h = OO'$:$R^2 = h^2 + O'K^2 \implies h^2 = R^2 - O'K^2$

Согласно теореме о трех перпендикулярах, поскольку $OO' \perp \Pi$ и наклонная $OK \perp l$, то ее проекция $O'K$ также перпендикулярна прямой $l$. Это означает, что длина отрезка $O'K$ является расстоянием от точки $O'$ до стороны ромба.

Так как расстояние $R$ от центра сферы до всех сторон ромба одинаково, то и расстояние $O'K$ от точки $O'$ до всех сторон ромба также будет одинаковым. Точка в плоскости многоугольника, равноудаленная от всех его сторон, является центром вписанной окружности. Следовательно, $O'$ — это центр окружности, вписанной в ромб, а $O'K$ — ее радиус, который мы обозначим $r$.

Таким образом, формула для нахождения $h$ принимает вид: $h = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Известно, что сторона ромба равна $a$, а его острый угол равен $\alpha$. Высота ромба $h_{ромба}$ связана со стороной и углом соотношением:$h_{ромба} = a \cdot \sin(\alpha)$

Диаметр вписанной в ромб окружности равен его высоте, то есть $2r = h_{ромба}$. Отсюда находим радиус:$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$

Теперь, зная $R = \frac{a}{2}$ и $r = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$, подставим эти значения в формулу для $h$:$h^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2 \sin^2(\alpha)}{4} = \frac{a^2}{4}(1 - \sin^2(\alpha))$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем $1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$. Тогда:$h^2 = \frac{a^2 \cos^2(\alpha)}{4}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим $h$:$h = \sqrt{\frac{a^2 \cos^2(\alpha)}{4}} = \frac{\sqrt{a^2} \sqrt{\cos^2(\alpha)}}{\sqrt{4}} = \frac{a |\cos(\alpha)|}{2}$

Поскольку по условию $\alpha$ — острый угол, то $\cos(\alpha) > 0$, и, следовательно, $|\cos(\alpha)| = \cos(\alpha)$. Окончательно получаем:$h = \frac{a \cos(\alpha)}{2}$

Ответ: $\frac{a \cos(\alpha)}{2}$.

13.35. Две сферы, радиусы которых равны $R$ и $r$, касаются внешним образом. Прямая $a$ касается этих сфер в точках $A$ и $B$. Докажите, что

$AB = 2\sqrt{Rr}$.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры сфер с радиусами $R$ и $r$ соответственно. Поскольку сферы касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r$.

Прямая $a$ является общей касательной к сферам в точках $A$ и $B$. Радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательной прямой, то есть $O_1A \perp a$ и $O_2B \perp a$. Длины этих радиусов равны $O_1A = R$ и $O_2B = r$.

Так как отрезки $O_1A$ и $O_2B$ оба перпендикулярны одной и той же прямой $a$, они параллельны друг другу. Это означает, что точки $O_1, A, B, O_2$ лежат в одной плоскости и образуют прямоугольную трапецию $O_1ABO_2$ с основаниями $O_1A$ и $O_2B$. Отрезок $AB$ является высотой этой трапеции.

Для нахождения длины $AB$ опустим перпендикуляр из центра одной сферы (для определенности, пусть это будет $O_2$ с радиусом $r \le R$) на радиус $O_1A$. Назовем основание этого перпендикуляра точкой $C$. В результате этого построения мы получаем прямоугольник $CABO_2$ и прямоугольный треугольник $\triangle O_1CO_2$.

Из свойств прямоугольника $CABO_2$ следует, что $AB = CO_2$ и $AC = O_2B = r$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1CO_2$. Его стороны имеют следующие длины:
- Гипотенуза $O_1O_2 = R + r$.
- Катет $O_1C = O_1A - AC = R - r$.
- Катет $CO_2$, который равен искомому отрезку $AB$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle O_1CO_2$:
$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$
Подставим известные выражения для длин сторон:
$(R + r)^2 = (R - r)^2 + AB^2$

Теперь выразим $AB^2$:
$AB^2 = (R + r)^2 - (R - r)^2$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$AB^2 = (R^2 + 2Rr + r^2) - (R^2 - 2Rr + r^2) = R^2 + 2Rr + r^2 - R^2 + 2Rr - r^2 = 4Rr$

Отсюда, извлекая квадратный корень, получаем:
$AB = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: $AB = 2\sqrt{Rr}$.