Номер 13.33, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.33. Стороны треугольника равны 17 см, 28 см и 39 см и касаются данной сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости этого треугольника равно 12 см. Найдите радиус сферы.

Пусть дан треугольник со сторонами $a = 17$ см, $b = 28$ см и $c = 39$ см. Стороны этого треугольника касаются сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы до каждой из прямых, содержащих стороны треугольника, равно радиусу сферы $R$.

Обозначим центр сферы как $O$. Пусть $O'$ — это проекция центра сферы на плоскость треугольника. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра $OO'$, и по условию оно равно $d = 12$ см.

Поскольку точка $O$ равноудалена от прямых, содержащих стороны треугольника, её проекция $O'$ на плоскость этого треугольника будет равноудалена от этих же прямых. Точка, равноудалённая от сторон треугольника, является центром вписанной в него окружности.

Таким образом, $O'$ — это центр вписанной в треугольник окружности, а расстояние от $O'$ до сторон треугольника — это радиус вписанной окружности $r$.

Радиус сферы $R$, радиус вписанной окружности $r$ и расстояние от центра сферы до плоскости треугольника $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $r$ и $d$ — катеты. Следовательно, они связаны теоремой Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.

Для нахождения радиуса сферы $R$ нам необходимо сначала вычислить радиус вписанной окружности $r$. Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Сначала найдём полупериметр треугольника:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{17+28+39}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

Затем найдём площадь треугольника по формуле Герона:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$S = \sqrt{42(42-17)(42-28)(42-39)} = \sqrt{42 \cdot 25 \cdot 14 \cdot 3}$$S = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot 5^2 \cdot (2 \cdot 7) \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ см$^2$.

Теперь вычислим радиус вписанной окружности:$r = \frac{S}{p} = \frac{210}{42} = 5$ см.

Наконец, найдём радиус сферы $R$, используя теорему Пифагора:$R^2 = d^2 + r^2$$R^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.