Номер 13.31, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 13.31, страница 125.

Условие.

13.31. Через точку к сфере проведены касательные. Найдите геометрическое место точек касания.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $P$ — точка, из которой к сфере проводятся касательные. Для нахождения геометрического места точек касания необходимо рассмотреть все возможные случаи расположения точки $P$ относительно сферы.

Наиболее содержательным является случай, когда точка $P$ находится вне сферы. Пусть $T$ — произвольная точка касания. Прямая $PT$ является касательной к сфере в точке $T$. По определению касательной, радиус $OT$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной прямой $PT$. Таким образом, треугольник $\triangle POT$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.

Это свойство выполняется для всех точек касания. Все они, во-первых, лежат на исходной сфере. Во-вторых, все они лежат на сфере, построенной на отрезке $PO$ как на диаметре (так как из любой точки этой сферы отрезок $PO$ виден под прямым углом). Следовательно, искомое геометрическое место точек касания является линией пересечения этих двух сфер. Пересечение двух сфер представляет собой окружность. Плоскость этой окружности перпендикулярна линии их центров, то есть прямой $PO$.

Рассмотрим два других случая. Если точка $P$ лежит на сфере, то существует единственная точка касания — сама точка $P$. Геометрическое место точек в этом случае состоит из одной точки.

Если же точка $P$ находится внутри сферы, то провести касательную к сфере через эту точку невозможно. В этом случае искомое геометрическое место точек является пустым множеством.

Ответ: Если точка находится вне сферы, то геометрическое место точек касания — это окружность; если точка лежит на сфере — это сама точка; если точка находится внутри сферы — пустое множество.