Номер 13.38, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.38. В шаре радиуса $R$ проведены два равных сечения, имеющие общую хорду длиной $a$. Угол между плоскостями сечений равен $\alpha$. Найдите площадь каждого из данных сечений.

Пусть $r$ — радиус каждого из двух равных сечений, а $S$ — их искомая площадь. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Таким образом, задача сводится к нахождению квадрата радиуса сечения $r^2$.

Введём обозначения. Пусть $O$ — центр шара, $R$ — его радиус. Два сечения имеют общую хорду длиной $a$. Обозначим центры этих сечений (кругов) как $C_1$ и $C_2$, а середину общей хорды — как $M$.

Рассмотрим плоскость $\Pi$, которая проходит через точку $M$ и перпендикулярна хорде. По свойству симметрии, центр шара $O$ лежит в этой плоскости. Центры сечений $C_1$ и $C_2$ также лежат в плоскости $\Pi$, так как отрезки $MC_1$ и $MC_2$ (представляющие собой расстояния от центров сечений до их общей хорды) перпендикулярны этой хорде. Следовательно, все четыре точки — $O$, $M$, $C_1$ и $C_2$ — лежат в одной плоскости $\Pi$.

В плоскости $\Pi$ угол между отрезками $MC_1$ и $MC_2$ равен углу между плоскостями сечений, так как эти отрезки лежат в соответствующих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения (общей хорде). Таким образом, $\angle C_1MC_2 = \alpha$.

Отрезок $OC_1$ соединяет центр шара с центром первого сечения, а значит, перпендикулярен плоскости этого сечения. Поскольку отрезок $MC_1$ лежит в плоскости первого сечения, то $OC_1 \perp MC_1$. Это означает, что треугольник $\triangle OC_1M$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C_1$. Аналогично, $\triangle OC_2M$ — прямоугольный с прямым углом при $C_2$.

Поскольку сечения равны, то равны и расстояния от их центров до общей хорды, $|MC_1| = |MC_2| = d$, и расстояния от центра шара до плоскостей сечений, $|OC_1| = |OC_2| = h$. Прямоугольные треугольники $\triangle OC_1M$ и $\triangle OC_2M$ равны по катету и общей гипотенузе $OM$. Отсюда следует, что $OM$ является биссектрисой угла $\angle C_1MC_2$, и $\angle OMC_1 = \alpha/2$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OC_1M$ катеты $h$ и $d$ связаны через угол $\angle OMC_1 = \alpha/2$:$\tan(\angle OMC_1) = \frac{|OC_1|}{|MC_1|} \implies \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{h}{d}$, откуда $h = d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь воспользуемся двумя основными соотношениями для сечений шара:1. Связь между радиусом сечения $r$, хордой $a$ и расстоянием $d$ от центра сечения до хорды. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом $r$, половиной хорды $a/2$ и отрезком $d$, по теореме Пифагора имеем:$r^2 = d^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$2. Связь между радиусом шара $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием $h$ от центра шара до плоскости сечения:$R^2 = h^2 + r^2$

Решим полученную систему уравнений относительно $r^2$:$\begin{cases} h = d \tan(\frac{\alpha}{2}) \\ r^2 = d^2 + \frac{a^2}{4} \\ R^2 = h^2 + r^2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $d^2$: $d^2 = r^2 - \frac{a^2}{4}$. Из первого уравнения выразим $h^2$: $h^2 = d^2 \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Подставим выражение для $d^2$ в выражение для $h^2$: $h^2 = \left(r^2 - \frac{a^2}{4}\right) \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Теперь подставим полученное выражение для $h^2$ в третье уравнение:$R^2 = \left(r^2 - \frac{a^2}{4}\right) \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + r^2$$R^2 = r^2 \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \frac{a^2}{4} \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + r^2$Сгруппируем члены с $r^2$:$R^2 + \frac{a^2}{4} \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r^2 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$Применяя тригонометрическое тождество $1 + \tan^2(x) = \sec^2(x) = 1/\cos^2(x)$, получаем:$R^2 + \frac{a^2}{4} \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r^2 \frac{1}{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}$Отсюда выражаем $r^2$:$r^2 = \left(R^2 + \frac{a^2}{4} \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$r^2 = R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \frac{a^2}{4} \frac{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{\cos^2(\frac{\alpha}{2})} \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$r^2 = R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \frac{a^2}{4} \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь находим площадь сечения $S$:$S = \pi r^2 = \pi \left(R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \frac{a^2}{4} \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Ответ: $S = \pi \left(R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \frac{a^2}{4} \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$.