Номер 13.45, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.45. Дан трёхгранный угол $SABC$, каждый плоский угол которого равен $90^\circ$. Точка $M$ принадлежит трёхгранному углу и удалена от его граней на 1 см, 2 см и 5 см. Сфера проходит через точку $M$ и касается всех граней трёхгранного угла. Найдите радиус сферы.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $S$ трёхгранного угла, а оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ направим вдоль его рёбер. В этой системе координат грани трёхгранного угла будут совпадать с координатными плоскостями $Oxy$ ($z=0$), $Oyz$ ($x=0$) и $Oxz$ ($y=0$).

Точка $M$ принадлежит трёхгранному углу, и её расстояния до граней (координатных плоскостей) равны 1 см, 2 см и 5 см. Это означает, что координаты точки $M$ равны $(1, 2, 5)$ (или любая их перестановка, что не повлияет на итоговое уравнение).

Пусть $R$ — радиус искомой сферы, а её центр — точка $O(x_0, y_0, z_0)$. Так как сфера касается всех трёх граней (координатных плоскостей) и находится в том же октанте, что и точка $M$, её центр равноудалён от этих плоскостей. Следовательно, координаты центра сферы равны $x_0 = y_0 = z_0 = R$. Таким образом, центр сферы — точка $O(R, R, R)$.

Уравнение сферы с центром в точке $O(R, R, R)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - R)^2 + (y - R)^2 + (z - R)^2 = R^2$

По условию, сфера проходит через точку $M(1, 2, 5)$. Значит, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению сферы. Подставим координаты точки $M$ в уравнение:

$(1 - R)^2 + (2 - R)^2 + (5 - R)^2 = R^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $R$:

$(1 - 2R + R^2) + (4 - 4R + R^2) + (25 - 10R + R^2) = R^2$

Приведём подобные члены:

$3R^2 - 16R + 30 = R^2$

$2R^2 - 16R + 30 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$R^2 - 8R + 15 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдём его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Легко подобрать корни:

$R_1 = 3$ и $R_2 = 5$.

Оба значения являются положительными, а значит, могут быть радиусами сферы. Таким образом, существуют две сферы, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: 3 см или 5 см.