Номер 13.50, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.50. Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в точках, являющихся вершинами прямоугольного треугольника с катетом 1 см и противолежащим углом, равным $30^\circ$. Найдите радиусы сфер.

Пусть радиусы трех сфер равны $r_1, r_2, r_3$. Обозначим центры сфер как $O_1, O_2, O_3$ соответственно. Так как сферы попарно касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами любых двух сфер равно сумме их радиусов: $d(O_i, O_j) = r_i + r_j$.

Все три сферы также касаются некоторой плоскости $\alpha$. Обозначим точки касания $A_1, A_2, A_3$. Каждая точка касания $A_i$ является ортогональной проекцией центра сферы $O_i$ на плоскость $\alpha$. Расстояние от центра $O_i$ до точки касания $A_i$ равно радиусу $r_i$, и отрезок $O_iA_i$ перпендикулярен плоскости $\alpha$.

Рассмотрим две сферы с радиусами $r_i$ и $r_j$. Расстояние между их центрами $O_iO_j = r_i + r_j$. Расстояние между точками касания на плоскости, $A_iA_j$, можно найти с помощью теоремы Пифагора. Пространственная фигура $O_iA_iA_jO_j$ является прямоугольной трапецией, где $O_iA_i$ и $O_jA_j$ — параллельные стороны. Связь между сторонами этой фигуры определяется уравнением:$(O_iO_j)^2 = (A_iA_j)^2 + (r_i - r_j)^2$$(r_i + r_j)^2 = (A_iA_j)^2 + (r_i - r_j)^2$$r_i^2 + 2r_ir_j + r_j^2 = (A_iA_j)^2 + r_i^2 - 2r_ir_j + r_j^2$Отсюда получаем ключевое соотношение:$(A_iA_j)^2 = 4r_ir_j$, или $A_iA_j = 2\sqrt{r_ir_j}$.

По условию, точки касания $A_1, A_2, A_3$ образуют прямоугольный треугольник. Пусть прямой угол находится в вершине $A_1$. Катеты треугольника — $A_1A_2$ и $A_1A_3$, а гипотенуза — $A_2A_3$. Дан один катет длиной 1 см и противолежащий ему угол $30^\circ$. Пусть катет $A_1A_3 = 1$ см. Тогда противолежащий угол $\angle A_2 = 30^\circ$. Найдем длины остальных сторон треугольника:Второй катет: $A_1A_2 = \frac{A_1A_3}{\tan(30^\circ)} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см. Гипотенуза: $A_2A_3 = \frac{A_1A_3}{\sin(30^\circ)} = \frac{1}{1/2} = 2$ см. Таким образом, стороны треугольника, образованного точками касания, равны 1 см, $\sqrt{3}$ см и 2 см.

Теперь мы можем составить систему уравнений для нахождения радиусов $r_1, r_2, r_3$, используя выведенную ранее формулу:$A_1A_2 = 2\sqrt{r_1r_2} = \sqrt{3}$$A_1A_3 = 2\sqrt{r_1r_3} = 1$$A_2A_3 = 2\sqrt{r_2r_3} = 2$

Возводя каждое уравнение в квадрат и упрощая, получаем систему:1) $r_1r_2 = \frac{3}{4}$2) $r_1r_3 = \frac{1}{4}$3) $r_2r_3 = 1$

Чтобы решить эту систему, перемножим все три уравнения:$(r_1r_2)(r_1r_3)(r_2r_3) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 1$$r_1^2r_2^2r_3^2 = \frac{3}{16}$Извлекая квадратный корень (радиусы должны быть положительными), получаем:$r_1r_2r_3 = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Теперь мы можем найти каждый радиус, разделив это произведение на соответствующее произведение пар радиусов из системы:$r_1 = \frac{r_1r_2r_3}{r_2r_3} = \frac{\sqrt{3}/4}{1} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.$r_2 = \frac{r_1r_2r_3}{r_1r_3} = \frac{\sqrt{3}/4}{1/4} = \sqrt{3}$ см.$r_3 = \frac{r_1r_2r_3}{r_1r_2} = \frac{\sqrt{3}/4}{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: Радиусы сфер равны $\frac{\sqrt{3}}{4}$ см, $\sqrt{3}$ см и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.