Номер 13.56, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.56. Отрезок $BD$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$, проведённая к его основанию. Точка $M$ — середина отрезка $BD$. Прямая $AM$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите, в каком отношении точка $K$ делит сторону $BC$, считая от точки $B$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. $BD$ — высота, проведённая к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $D$ является серединой основания $AC$.

По условию, точка $M$ — середина высоты $BD$. Прямая $AM$ пересекает боковую сторону $BC$ в точке $K$. Нам необходимо найти отношение $\frac{BK}{KC}$.

Для решения этой задачи удобно применить теорему Менелая. Рассмотрим треугольник $BDC$ и прямую $AK$, которая является для него секущей. Эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $K$, сторону $BD$ в точке $M$ и продолжение стороны $DC$ в точке $A$.

Согласно теореме Менелая для треугольника $BDC$ и секущей $AKM$ справедливо соотношение:

$\frac{BK}{KC} \cdot \frac{CA}{AD} \cdot \frac{DM}{MB} = 1$

Определим значения отношений в этом выражении.
Во-первых, рассмотрим отношение $\frac{CA}{AD}$. Так как $BD$ является медианой, точка $D$ — середина отрезка $AC$. Это означает, что длина всего отрезка $AC$ в два раза больше длины его половины $AD$, то есть $CA = 2 \cdot AD$. Следовательно, $\frac{CA}{AD} = \frac{2 \cdot AD}{AD} = 2$.
Во-вторых, рассмотрим отношение $\frac{DM}{MB}$. По условию, точка $M$ — середина отрезка $BD$. Это означает, что $DM = MB$. Следовательно, $\frac{DM}{MB} = 1$.

Теперь подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая:

$\frac{BK}{KC} \cdot 2 \cdot 1 = 1$

Из этого уравнения выразим искомое отношение:

$\frac{BK}{KC} = \frac{1}{2}$

Таким образом, точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении $1:2$, считая от точки $B$.

Ответ: $1:2$.