Номер 14.5, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.5. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 8 см, а диагональ боковой грани — 13 см. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — ее боковое ребро (высота). Боковая грань призмы является прямоугольником со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этого прямоугольника $d_f$ дана по условию.

По условию задачи, боковое ребро $h = 8$ см, а диагональ боковой грани $d_f = 13$ см.

Чтобы найти сторону основания $a$, применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному стороной основания, боковым ребром и диагональю боковой грани:

$a^2 + h^2 = d_f^2$

Подставим известные значения:

$a^2 + 8^2 = 13^2$

$a^2 + 64 = 169$

$a^2 = 169 - 64$

$a^2 = 105$

$a = \sqrt{105}$ см.

Основанием призмы является правильный шестиугольник. Радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. Таким образом:

$R_{осн} = a = \sqrt{105}$ см.

Центр шара, описанного около правильной призмы, находится на середине высоты, соединяющей центры оснований призмы. Радиус $R$ описанного шара можно найти по формуле, которая связывает его с радиусом окружности, описанной около основания ($R_{осн}$), и высотой призмы ($h$):

$R^2 = R_{осн}^2 + (\frac{h}{2})^2$

Данная формула является следствием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катеты которого — это радиус окружности, описанной около основания, и половина высоты призмы, а гипотенуза — радиус описанного шара.

Подставим найденные значения $R_{осн}$ и $h$ в формулу:

$R^2 = (\sqrt{105})^2 + (\frac{8}{2})^2$

$R^2 = 105 + 4^2$

$R^2 = 105 + 16$

$R^2 = 121$

$R = \sqrt{121} = 11$ см.

Ответ: 11 см.