Страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.3. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 2 см, а сторона на основания — 12 см. Найдите радиус шара, в который вписана данная призма.

Пусть $R$ – радиус шара, в который вписана правильная треугольная призма, $r$ – радиус окружности, описанной около основания призмы, и $h$ – высота призмы.

По условию задачи даны:

Высота призмы $h$ (равная боковому ребру) = 2 см.

Сторона основания $a$ (правильного треугольника) = 12 см.

Радиус описанного шара $R$ можно найти по формуле, связывающей его с радиусом окружности, описанной около основания, и высотой призмы. Эта формула является следствием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются половина высоты призмы $(\frac{h}{2})$ и радиус описанной окружности основания $r$, а гипотенузой – радиус шара $R$:

$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

1. Найдём радиус $r$ окружности, описанной около основания призмы.

Основание призмы – это правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 12$ см. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $a$:

$r = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдём радиус шара $R$.

Теперь подставим известные значения $r = 4\sqrt{3}$ см и $h = 2$ см в формулу для радиуса шара:

$R^2 = (4\sqrt{3})^2 + (\frac{2}{2})^2$

$R^2 = 16 \cdot 3 + 1^2$

$R^2 = 48 + 1$

$R^2 = 49$

$R = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

14.4. В шар радиуса $R$ вписана правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна $a$. Найдите площадь боковой поверхности данной призмы.

Дано:
Шар с радиусом $R$.
В шар вписана правильная четырёхугольная призма.
Сторона основания призмы равна $a$.

Найти:
Площадь боковой поверхности призмы, $S_{бок}$.

Решение:

1. Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

2. Так как призма правильная четырёхугольная, её основанием является квадрат со стороной $a$. Периметр этого квадрата равен: $P_{осн} = 4a$.

3. Таким образом, для нахождения площади боковой поверхности нам необходимо найти высоту призмы $h$. Мы можем найти ее, используя тот факт, что призма вписана в шар. Это означает, что все вершины призмы лежат на поверхности шара.

4. Рассмотрим осевое сечение, проходящее через диагональ основания призмы. Это сечение представляет собой прямоугольник (боковая грань призмы, разрезанная по диагонали), вписанный в большой круг шара (круг с радиусом $R$). Диагональ этого прямоугольника является диагональю призмы и одновременно диаметром шара.

5. Пусть $D$ — диагональ призмы, $d$ — диагональ основания призмы, $h$ — высота призмы. Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, где $D$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $D^2 = d^2 + h^2$.

6. Диагональ призмы $D$ равна диаметру шара, то есть $D = 2R$.

7. Диагональ основания $d$ является диагональю квадрата со стороной $a$. По теореме Пифагора для основания: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

8. Подставим выражения для $D^2$ и $d^2$ в формулу из пункта 5: $(2R)^2 = 2a^2 + h^2$
$4R^2 = 2a^2 + h^2$

9. Выразим из этого уравнения высоту $h$: $h^2 = 4R^2 - 2a^2$
$h = \sqrt{4R^2 - 2a^2}$

10. Теперь, когда у нас есть выражения для периметра основания и высоты, мы можем найти площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4a \cdot \sqrt{4R^2 - 2a^2}$

Ответ: $4a\sqrt{4R^2 - 2a^2}$.

14.5. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 8 см, а диагональ боковой грани — 13 см. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — ее боковое ребро (высота). Боковая грань призмы является прямоугольником со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этого прямоугольника $d_f$ дана по условию.

По условию задачи, боковое ребро $h = 8$ см, а диагональ боковой грани $d_f = 13$ см.

Чтобы найти сторону основания $a$, применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному стороной основания, боковым ребром и диагональю боковой грани:

$a^2 + h^2 = d_f^2$

Подставим известные значения:

$a^2 + 8^2 = 13^2$

$a^2 + 64 = 169$

$a^2 = 169 - 64$

$a^2 = 105$

$a = \sqrt{105}$ см.

Основанием призмы является правильный шестиугольник. Радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. Таким образом:

$R_{осн} = a = \sqrt{105}$ см.

Центр шара, описанного около правильной призмы, находится на середине высоты, соединяющей центры оснований призмы. Радиус $R$ описанного шара можно найти по формуле, которая связывает его с радиусом окружности, описанной около основания ($R_{осн}$), и высотой призмы ($h$):

$R^2 = R_{осн}^2 + (\frac{h}{2})^2$

Данная формула является следствием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катеты которого — это радиус окружности, описанной около основания, и половина высоты призмы, а гипотенуза — радиус описанного шара.

Подставим найденные значения $R_{осн}$ и $h$ в формулу:

$R^2 = (\sqrt{105})^2 + (\frac{8}{2})^2$

$R^2 = 105 + 4^2$

$R^2 = 105 + 16$

$R^2 = 121$

$R = \sqrt{121} = 11$ см.

Ответ: 11 см.

14.6. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Радиус шара, описанного около данной призмы, равен 13 см. Найдите боковое ребро призмы.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Боковое ребро прямой призмы равно ее высоте $H$.

Для нахождения бокового ребра призмы воспользуемся формулой, связывающей радиус $R$ описанной около призмы сферы, высоту призмы $H$ и радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около основания призмы:$R^2 = R_{осн}^2 + (\frac{H}{2})^2$

1. Найдем радиус окружности, описанной около основания ($R_{осн}$).

Сначала найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника в основании по теореме Пифагора:$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине длины гипотенузы:$R_{осн} = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

2. Найдем боковое ребро (высоту) призмы $H$.

Теперь, зная радиус описанной сферы $R = 13$ см и радиус окружности, описанной около основания, $R_{осн} = 5$ см, подставим эти значения в формулу:$13^2 = 5^2 + (\frac{H}{2})^2$

Решим уравнение относительно $H$:$169 = 25 + \frac{H^2}{4}$

$\frac{H^2}{4} = 169 - 25$

$\frac{H^2}{4} = 144$

$H^2 = 144 \cdot 4 = 576$

$H = \sqrt{576} = 24$ см.

Ответ: 24 см.

14.7. Основанием прямой призмы является треугольник с углом $150^\circ$ и противолежащей ему стороной, равной 15 см. Боковое ребро призмы равно 16 см. Найдите радиус сферы, в которую вписана данная призма.

Для решения задачи выполним два основных шага: сначала найдем радиус окружности, описанной около основания призмы, а затем, используя это значение и высоту призмы, найдем радиус описанной сферы.

1. Нахождение радиуса окружности, описанной около основания призмы.

Основанием призмы является треугольник, у которого известен угол $\alpha = 150^{\circ}$ и противолежащая ему сторона $a = 15$ см. Радиус $r$ окружности, описанной около этого треугольника, можно найти, используя следствие из теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2r$

Выразим отсюда радиус $r$:

$r = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

Найдем значение синуса угла $150^{\circ}$: $\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим известные значения в формулу:

$r = \frac{15}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{15}{1} = 15$ см.

2. Нахождение радиуса сферы, в которую вписана призма.

Если прямая призма вписана в сферу, то радиус сферы $R$, радиус окружности, описанной около основания призмы $r$, и высота призмы $H$ связаны соотношением, которое следует из теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются: центр сферы, центр окружности, описанной около одного из оснований, и любая вершина этого основания. В этом треугольнике гипотенузой будет радиус сферы $R$, а катетами — радиус описанной окружности основания $r$ и половина высоты призмы $\frac{H}{2}$.

Таким образом, формула имеет вид:

$R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$

Высота прямой призмы равна ее боковому ребру, следовательно, $H = 16$ см. Подставим в формулу найденное значение $r = 15$ см и данное значение $H = 16$ см:

$R^2 = 15^2 + (\frac{16}{2})^2 = 15^2 + 8^2$

$R^2 = 225 + 64 = 289$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти радиус сферы:

$R = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.

14.8. В шар вписана правильная четырёхугольная пирамида, сторона ос- нования которой равна 2 см, а высота – 4 см. Найдите радиус шара.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, вписанная в шар. $S$ — вершина пирамиды, а $ABCD$ — квадратное основание. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей). Тогда высота пирамиды $H = SO = 4$ см. По условию, сторона основания $a = 2$ см.

Центр шара $O_{ш}$ лежит на оси симметрии пирамиды, то есть на ее высоте $SO$. Все вершины пирамиды ($A, B, C, D, S$) лежат на поверхности шара, поэтому расстояние от центра шара до любой из них равно радиусу шара $R$. В частности, $O_{ш}A = R$ и $O_{ш}S = R$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды и шара, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. В этом сечении мы увидим равнобедренный треугольник $SAC$, вписанный в большой круг шара радиуса $R$.

Сначала найдем расстояние от центра основания $O$ до вершины основания $A$. Это половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см. Тогда:

$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_{ш}OA$. Его гипотенуза — это радиус шара $O_{ш}A = R$. Один катет — это половина диагонали основания $AO = \sqrt{2}$ см. Второй катет — это расстояние между центром шара и центром основания пирамиды, $O_{ш}O$.

Точки $S$, $O_{ш}$ и $O$ лежат на одной прямой (высоте пирамиды). Длина высоты $SO = H = 4$ см. Расстояние от центра шара до вершины $S$ равно радиусу: $O_{ш}S = R$. Следовательно, расстояние от центра шара до центра основания равно $O_{ш}O = |SO - O_{ш}S| = |H - R| = |4 - R|$.

По теореме Пифагора для треугольника $O_{ш}OA$ составим уравнение:

$(O_{ш}A)^2 = (AO)^2 + (O_{ш}O)^2$

$R^2 = (\sqrt{2})^2 + (4 - R)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $R$:

$R^2 = 2 + 16 - 8R + R^2$

$R^2 = 18 - 8R + R^2$

$0 = 18 - 8R$

$8R = 18$

$R = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2,25$ см.

Ответ: $2,25$ см.

14.9. В шар радиуса $R$ вписана правильная четырёхугольная пирамида, боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$, вписанная в шар с центром $O$ и радиусом $R$. Высота пирамиды $SO'$, где $O'$ — центр квадрата $ABCD$ в основании. Центр шара $O$ лежит на высоте пирамиды $SO'$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через диагональ основания $AC$ и вершину $S$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAC$, который вписан в большую окружность шара радиуса $R$.

Угол $\alpha$ между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания, то есть отрезком $AO'$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $SO'A$, угол $\angle SAO' = \alpha$.

В треугольнике $SAC$ углы при основании $AC$ равны $\alpha$, то есть $\angle SAC = \angle SCA = \alpha$. Тогда угол при вершине $S$ равен $\angle ASC = 180^\circ - 2\alpha = \pi - 2\alpha$.

Применим теорему синусов для треугольника $SAC$ и описанной около него окружности радиуса $R$:$ \frac{AC}{\sin(\angle ASC)} = 2R $

Подставим значение угла $\angle ASC$:$ \frac{AC}{\sin(\pi - 2\alpha)} = 2R $

Поскольку $\sin(\pi - x) = \sin(x)$, получаем:$ \frac{AC}{\sin(2\alpha)} = 2R $

Отсюда выразим диагональ основания $AC$:$ AC = 2R \sin(2\alpha) $

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $SO'A$. Высота пирамиды $H = SO'$. Из этого треугольника имеем:$ H = SO' = AO' \cdot \tan(\alpha) $

Так как $O'$ — центр квадрата, то $AO'$ — это половина диагонали $AC$:$ AO' = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} (2R \sin(2\alpha)) = R \sin(2\alpha) $

Подставим выражение для $AO'$ в формулу для высоты $H$:$ H = (R \sin(2\alpha)) \cdot \tan(\alpha) $

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$ и определение тангенса $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$:$ H = R \cdot (2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $

Сократив $\cos(\alpha)$, получим окончательное выражение для высоты:$ H = 2R \sin^2(\alpha) $

Ответ: $H = 2R \sin^2(\alpha)$

14.10. Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен $ \alpha $, а сторона основания равна $ a $. Найдите радиус сферы, описанной около данной пирамиды.

Решение

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. По условию, сторона основания $AB = a$, а плоский угол при вершине боковой грани (например, $\angle ASB$) равен $\alpha$.

Центр $O_s$ описанной около пирамиды сферы лежит на ее высоте $SO$, где $O$ — центр квадрата $ABCD$. Радиус сферы $R$ равен расстоянию от центра $O_s$ до любой вершины пирамиды. Таким образом, $R = O_sS = O_sA$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания $AC$ и вершину $S$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAC$. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанной сферы, и ее радиус равен $R$.

Найдем радиус $R$ этой окружности. Пусть $H = SO$ — высота пирамиды, а $r_b = OA$ — радиус окружности, описанной около основания. Центр сферы $O_s$ лежит на высоте $SO$. Обозначим $OO_s = x$. Тогда радиус сферы $R$ удовлетворяет двум условиям: $R = O_sS = |H-x|$ и $R = O_sA$. Из прямоугольного треугольника $OO_sA$ по теореме Пифагора имеем $O_sA^2 = OA^2 + OO_s^2 = r_b^2 + x^2$.

Таким образом, $R^2 = r_b^2 + x^2$. Приравнивая квадраты радиусов, получаем: $(H-x)^2 = r_b^2 + x^2$.

Раскроем скобки: $H^2 - 2Hx + x^2 = r_b^2 + x^2$.

Отсюда $2Hx = H^2 - r_b^2$, и $x = \frac{H^2 - r_b^2}{2H}$.

Найдем радиус $R$, подставив $x$ в выражение $R = |H - x|$:

$R = \left|H - \frac{H^2 - r_b^2}{2H}\right| = \left|\frac{2H^2 - H^2 + r_b^2}{2H}\right| = \frac{H^2 + r_b^2}{2H}$.

Теперь найдем величины $r_b$ и $H$.

1. Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $a$, равен половине его диагонали: $r_b = OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}a\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдем боковое ребро $l = SA$. Рассмотрим боковую грань — равнобедренный треугольник $SAB$. Проведем в нем высоту $SM$ к основанию $AB$. В прямоугольном треугольнике $SAM$ имеем $AM = a/2$ и $\angle ASM = \alpha/2$. Тогда боковое ребро равно:

$l = SA = \frac{AM}{\sin(\angle ASM)} = \frac{a/2}{\sin(\alpha/2)} = \frac{a}{2\sin(\alpha/2)}$.

3. Найдем высоту пирамиды $H = SO$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ по теореме Пифагора: $H^2 = SA^2 - OA^2 = l^2 - r_b^2$.

$H^2 = \left(\frac{a}{2\sin(\alpha/2)}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4\sin^2(\alpha/2)} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2(1 - 2\sin^2(\alpha/2))}{4\sin^2(\alpha/2)}$.

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha/2)$, получаем:

$H^2 = \frac{a^2\cos(\alpha)}{4\sin^2(\alpha/2)}$.

Отсюда $H = \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sin(\alpha/2)}$. Отметим, что для существования пирамиды необходимо, чтобы высота была действительным числом, то есть $H^2 > 0$, что означает $\cos(\alpha) > 0$. Также, сумма плоских углов при вершине пирамиды должна быть меньше $360^\circ$, т.е. $4\alpha < 360^\circ$, откуда $\alpha < 90^\circ$. Это условие обеспечивает, что $\cos(\alpha) > 0$.

4. Теперь подставим найденные величины в формулу для радиуса $R$. Заметим, что $H^2 + r_b^2 = (l^2 - r_b^2) + r_b^2 = l^2$. Тогда формула для радиуса упрощается:

$R = \frac{l^2}{2H}$.

Подставим выражения для $l$ и $H$:

$R = \frac{\left(\frac{a}{2\sin(\alpha/2)}\right)^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sin(\alpha/2)}} = \frac{\frac{a^2}{4\sin^2(\alpha/2)}}{\frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{\sin(\alpha/2)}} = \frac{a^2}{4\sin^2(\alpha/2)} \cdot \frac{\sin(\alpha/2)}{a\sqrt{\cos(\alpha)}} = \frac{a}{4\sin(\alpha/2)\sqrt{\cos(\alpha)}}$.

Ответ: $R = \frac{a}{4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\cos\alpha}}$.

14.11. Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен $\alpha$, а сторона основания равна $a$. Найдите радиус сферы, описанной около данной пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание со стороной $a$, а $S$ — вершина пирамиды. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата). Тогда $SO$ — высота пирамиды, обозначим ее $h$.

Двугранный угол при ребре основания, например, при ребре $CD$, равен $\alpha$. Для построения его линейного угла проведем апофему $SM$ боковой грани $SCD$, где $M$ — середина ребра $CD$. Так как пирамида правильная, $SM \perp CD$. В основании отрезок $OM$ соединяет центр квадрата с серединой стороны, поэтому $OM \perp CD$. Следовательно, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $CD$, то есть $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Катет $OM$ равен половине стороны основания: $OM = \frac{a}{2}$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$$ \tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{h}{a/2} $$Отсюда выразим высоту пирамиды $h$:$$ h = \frac{a}{2} \tan(\alpha) $$

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Радиус $R$ описанной сферы для правильной пирамиды можно найти по формуле $R = \frac{l^2}{2h}$, где $l$ — длина бокового ребра.

Найдем квадрат длины бокового ребра $l$. Рассмотрим боковое ребро $SC$ и прямоугольный треугольник $\triangle SOC$ (угол $\angle SOC = 90^\circ$). Катет $OC$ равен половине диагонали основания. Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2}$, поэтому $OC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. По теореме Пифагора:$$ l^2 = SC^2 = SO^2 + OC^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{2} $$Подставим в это выражение найденное ранее значение $h$:$$ l^2 = \left(\frac{a}{2} \tan(\alpha)\right)^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2 \tan^2(\alpha)}{4} + \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2(\tan^2(\alpha) + 2)}{4} $$

Теперь подставим выражения для $l^2$ и $h$ в формулу для радиуса описанной сферы:$$ R = \frac{l^2}{2h} = \frac{\frac{a^2(\tan^2(\alpha) + 2)}{4}}{2 \cdot \frac{a}{2} \tan(\alpha)} = \frac{\frac{a^2(\tan^2(\alpha) + 2)}{4}}{a \tan(\alpha)} $$Упростив выражение, получим:$$ R = \frac{a(\tan^2(\alpha) + 2)}{4 \tan(\alpha)} $$

Ответ: $ \frac{a(\tan^2(\alpha) + 2)}{4 \tan(\alpha)} $

14.12. В шар вписана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите радиус шара.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, вписанная в шар. Основание ABC – правильный треугольник со стороной $a = 6$ см. Вершина S пирамиды проецируется в центр O основания ABC. Боковое ребро SA образует с плоскостью основания угол $\angle SAO = 30^\circ$.

1. Найдем радиус окружности, описанной около основания пирамиды.

Центр O правильного треугольника ABC является центром описанной около него окружности. Радиус этой окружности R_осн равен расстоянию от центра до вершины, например, OA. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны основания $a = 6$ см:

$OA = R_{осн} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Найдем высоту и длину бокового ребра пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Катет OA является проекцией бокового ребра SA на плоскость основания. Следовательно, угол между боковым ребром и плоскостью основания – это угол $\angle SAO = 30^\circ$.

Высота пирамиды $H = SO$. Найдем ее из треугольника SOA:

$H = SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) = 2\sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2$ см.

Длина бокового ребра $L = SA$:

$L = SA = \frac{OA}{\cos(\angle SAO)} = \frac{2\sqrt{3}}{\cos(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 4$ см.

3. Найдем радиус шара.

Центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее высоте (или на ее продолжении). Обозначим центр шара точкой O_ш, а его радиус – $R$.

Точка O_ш равноудалена от всех вершин пирамиды. В частности, расстояние от O_ш до вершины S равно расстоянию до вершины A:

$O_шS = O_шA = R$

Это означает, что точка O_ш лежит на серединном перпендикуляре к боковому ребру SA.

Рассмотрим сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через точки S, O, A. В этой плоскости лежит треугольник SOA, а центр шара O_ш лежит на прямой SO.

Найдем угол $\angle ASO$ в прямоугольном треугольнике SOA:

$\angle ASO = 90^\circ - \angle SAO = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Пусть M – середина бокового ребра SA. Тогда $SM = \frac{SA}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Серединный перпендикуляр к SA, проведенный из точки M, пересечет высоту SO в центре шара O_ш. При этом образуется прямоугольный треугольник SMO_ш ($\angle SMO_ш = 90^\circ$).

В треугольнике SMO_ш гипотенуза $O_шS$ является радиусом шара $R$. Катет SM равен 2 см, а угол $\angle MSO_ш$ (он же $\angle ASO$) равен $60^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos(\angle MSO_ш) = \frac{SM}{O_шS}$

$\cos(60^\circ) = \frac{2}{R}$

$\frac{1}{2} = \frac{2}{R}$

Отсюда находим радиус шара $R$:

$R = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

14.13. Центр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, делит её высоту на отрезки длиной 6 см и 3 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида, S – ее вершина, а ABC – основание (правильный треугольник). Пусть M – центр основания ABC, тогда SM – высота пирамиды H.

Центр O описанной около пирамиды сферы лежит на ее высоте SM. Согласно условию, точка O делит высоту на отрезки длиной 6 см и 3 см. Следовательно, полная высота пирамиды равна $H = SM = 6 + 3 = 9$ см.

По определению, центр описанной сферы O равноудален от всех вершин пирамиды. Расстояние от центра сферы до любой ее вершины равно радиусу сферы R. Таким образом, $OS = OA = OB = OC = R$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки O на высоте SM.

Случай 1: Точка O расположена ближе к основанию пирамиды. Тогда отрезок от вершины S до центра O равен 6 см, а отрезок от центра O до основания M равен 3 см. То есть, $SO = 6$ см и $OM = 3$ см.
В этом случае радиус описанной сферы $R = OS = 6$ см. Так как вершина A основания также лежит на сфере, то расстояние $OA$ также равно радиусу, $OA = R = 6$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$, где $\angle OMA = 90^\circ$. Катетами являются $OM$ и $AM$, а гипотенузой – $OA$. Отрезок $AM$ – это радиус окружности, описанной около основания ABC.
По теореме Пифагора: $OA^2 = OM^2 + AM^2$.
Подставим известные значения:
$6^2 = 3^2 + AM^2$
$36 = 9 + AM^2$
$AM^2 = 36 - 9 = 27$
$AM = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности ($r_{опис}$) связан со стороной формулой $r_{опис} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. В нашем случае $AM = r_{опис}$.
Следовательно, $AM = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$3\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Отсюда находим сторону основания $a$:
$a = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Случай 2: Точка O расположена ближе к вершине пирамиды. Тогда $SO = 3$ см и $OM = 6$ см.
В этом случае радиус описанной сферы $R = OS = 3$ см. Тогда $OA$ также должен быть равен 3 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. В нем гипотенуза $OA = 3$ см, а один из катетов $OM = 6$ см. Это невозможно, так как в прямоугольном треугольнике катет не может быть длиннее гипотенузы ($3 < 6$). Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможным является первый случай.

Ответ: 9 см.

14.14. Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен $\alpha$, а радиус сферы, описанной около данной пирамиды, равен $R$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Пусть $H$ — центр основания (точка пересечения медиан), тогда $SH = h$ — высота пирамиды, которую необходимо найти.

Двугранный угол при ребре основания, например, при ребре $BC$, образован плоскостями основания $(ABC)$ и боковой грани $(SBC)$. Для нахождения его линейного угла проведём апофему боковой грани $SM$, где $M$ — середина ребра $BC$. Так как пирамида правильная, $SM \perp BC$. Также, поскольку $H$ — центр правильного треугольника $ABC$, то медиана $AM$ является и высотой, т.е. $AM \perp BC$. Следовательно, отрезок $HM$ также перпендикулярен $BC$. Таким образом, линейный угол двугранного угла при ребре $BC$ — это угол $\angle SMH$. По условию, $\angle SMH = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SHM$ (угол $\angle SHM = 90^\circ$). Катет $SH$ — это высота пирамиды $h$, а катет $HM$ — это радиус вписанной в основание окружности ($r_{base}$). Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$ \mathrm{ctg}(\alpha) = \frac{HM}{SH} = \frac{r_{base}}{h} $

Отсюда выразим $r_{base}$ через $h$ и $\alpha$:

$ r_{base} = h \cdot \mathrm{ctg}(\alpha) $

В основании лежит равносторонний треугольник $ABC$. Для него радиус описанной окружности ($R_{base} = AH$) связан с радиусом вписанной окружности ($r_{base} = HM$) соотношением $R_{base} = 2r_{base}$. Тогда:

$ R_{base} = 2h \cdot \mathrm{ctg}(\alpha) $

Центр $O$ сферы, описанной около пирамиды, лежит на её высоте $SH$. Все вершины пирамиды ($A, B, C, S$) находятся на поверхности сферы, поэтому расстояние от центра $O$ до любой вершины равно радиусу сферы $R$. В частности, $OA = OS = R$.

Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через вершину $S$, вершину основания $A$ и центр основания $H$. В этом сечении лежит прямоугольный треугольник $\triangle SHA$. Точки $S$ и $A$ лежат на большой окружности описанной сферы. Связь между радиусом $R$ описанной сферы, высотой пирамиды $h$ и радиусом $R_{base}$ описанной окружности основания для правильной пирамиды выражается формулой:

$ 2hR = h^2 + R_{base}^2 $

Эту формулу можно получить, рассмотрев равнобедренный треугольник $\triangle OSA$ ($OS=OA=R$) и выразив расстояние от точки $O$ на прямой $SH$ до точек $S$ и $A$.

Подставим в эту формулу найденное ранее выражение для $R_{base}$:

$ 2hR = h^2 + (2h \cdot \mathrm{ctg}(\alpha))^2 $

$ 2hR = h^2 + 4h^2 \mathrm{ctg}^2(\alpha) $

Так как высота пирамиды $h \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $h$:

$ 2R = h + 4h \mathrm{ctg}^2(\alpha) $

Вынесем $h$ за скобки в правой части уравнения:

$ 2R = h(1 + 4\mathrm{ctg}^2(\alpha)) $

Отсюда выражаем искомую высоту $h$:

$ h = \frac{2R}{1 + 4\mathrm{ctg}^2(\alpha)} $

Ответ: $ \frac{2R}{1 + 4\mathrm{ctg}^2(\alpha)} $

14.15. Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра, ребро которого равно $a$.

Правильный тетраэдр — это многогранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками. Пусть дан правильный тетраэдр $DABC$ с ребром, равным $a$. Все его ребра равны $a$.

Центр описанного шара $O$ для правильного тетраэдра совпадает с его центром тяжести (центроидом), который равноудален от всех вершин тетраэдра. Расстояние от центра $O$ до любой из вершин является радиусом $R$ описанного шара.

Центр $O$ лежит на высоте тетраэдра $DH$, опущенной из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$. Точка $H$ является центром равностороннего треугольника $ABC$ (точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис).

Известно, что центроид тетраэдра делит его высоту в отношении 3:1, считая от вершины. Таким образом, радиус $R$ описанного шара равен расстоянию от центра $O$ до вершины $D$:

$R = DO = \frac{3}{4} DH$

Для нахождения $R$ необходимо вычислить высоту тетраэдра $DH$.

1. Рассмотрим основание — равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Точка $H$ является его центром. Расстояние от вершины треугольника $A$ до его центра $H$ равно радиусу описанной около треугольника $ABC$ окружности. Найдем сначала высоту (и медиану) $AM$ треугольника $ABC$:

$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Точка $H$ делит медиану $AM$ в отношении 2:1, считая от вершины $A$. Следовательно:

$AH = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHD$. В нем:

• $AD$ — гипотенуза, являющаяся ребром тетраэдра, $AD = a$.
• $AH$ — катет, который мы нашли.
• $DH$ — катет, являющийся высотой тетраэдра.

По теореме Пифагора:

$DH^2 = AD^2 - AH^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

$DH = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

4. Мы нашли высоту тетраэдра. Теперь можем вычислить радиус описанного шара $R$:

$R = \frac{3}{4} DH = \frac{3}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{6}}{4}$

14.16. В треугольной пирамиде DABC $AB = a$, $\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ$. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Пусть $R$ — радиус сферы, описанной около пирамиды $DABC$. Все вершины пирамиды $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на этой сфере.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, $\angle ACB = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, и его гипотенузой является сторона $AB$. Окружность, описанная около прямоугольного треугольника, имеет центр в середине гипотенузы, а ее диаметр равен гипотенузе. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности с диаметром $AB$.

Аналогично рассмотрим треугольник $ADB$. По условию, $\angle ADB = 90^\circ$. Этот треугольник также является прямоугольным с гипотенузой $AB$. Значит, точки $A$, $B$ и $D$ лежат на окружности с диаметром $AB$.

Геометрическое место точек в пространстве, из которых отрезок $AB$ виден под прямым углом, — это сфера, построенная на отрезке $AB$ как на диаметре.

Поскольку $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle ADB = 90^\circ$, точки $C$ и $D$ лежат на сфере, диаметром которой является отрезок $AB$. Точки $A$ и $B$ как концы диаметра также лежат на этой сфере.

Таким образом, все четыре вершины пирамиды ($A$, $B$, $C$, $D$) лежат на сфере с диаметром $AB$. Эта сфера является описанной около пирамиды $DABC$.

Радиус описанной сферы равен половине ее диаметра. Диаметр сферы равен длине ребра $AB$, которая по условию равна $a$.

Следовательно, радиус $R$ равен: $R = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$.

Ответ: $\frac{a}{2}$.