Страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.17. Докажите, что если боковые рёбра пирамиды равны, то около неё можно описать сферу, причём центр этой сферы принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $S A_1 A_2 \dots A_n$, у которой все боковые рёбра равны: $S A_1 = S A_2 = \dots = S A_n$. Пусть $SH$ — высота пирамиды, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания.

Сначала докажем, что основание высоты $H$ является центром окружности, описанной около основания пирамиды. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle S H A_1, \triangle S H A_2, \dots, \triangle S H A_n$. В этих треугольниках катет $SH$ является общим, а гипотенузы $S A_1, S A_2, \dots, S A_n$ равны по условию. Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство вторых катетов: $H A_1 = H A_2 = \dots = H A_n$. Это означает, что точка $H$ равноудалена от всех вершин основания $A_1, A_2, \dots, A_n$, и, следовательно, является центром окружности, описанной около многоугольника-основания.

Теперь докажем, что около пирамиды можно описать сферу и её центр лежит на прямой $SH$.

Сферой, описанной около пирамиды, называется сфера, проходящая через все её вершины. Центр описанной сферы — это точка $O$, равноудалённая от всех вершин пирамиды, то есть $O A_1 = O A_2 = \dots = O A_n = OS = R$, где $R$ — радиус сферы.

Из условия $O A_1 = O A_2 = \dots = O A_n$ следует, что точка $O$ принадлежит множеству точек пространства, равноудалённых от вершин основания. Это множество представляет собой прямую, перпендикулярную плоскости основания и проходящую через центр описанной около него окружности. Как мы установили, таким центром является точка $H$. Значит, центр сферы $O$ (если он существует) должен лежать на прямой, проходящей через точку $H$ перпендикулярно плоскости основания. Эта прямая и есть прямая, содержащая высоту пирамиды $SH$. Таким образом, мы доказали вторую часть утверждения: центр описанной сферы принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды.

Для доказательства существования сферы достаточно показать, что на прямой $SH$ существует точка $O$, равноудаленная от вершины $S$ и любой из вершин основания, например, $A_1$, то есть $OS = OA_1$. Множество всех точек, равноудалённых от $S$ и $A_1$, является плоскостью $\alpha$, перпендикулярной отрезку $SA_1$ и проходящей через его середину. Искомая точка $O$ является точкой пересечения прямой $SH$ и плоскости $\alpha$.

Прямая $SH$ и плоскость $\alpha$ не параллельны (так как $SH$ не перпендикулярна $SA_1$ в невырожденной пирамиде) и прямая не лежит в плоскости. Следовательно, они пересекаются в единственной точке $O$. Эта точка по построению лежит на прямой $SH$ (а значит, $OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$) и в плоскости $\alpha$ (а значит, $OS = OA_1$). Объединяя эти равенства, получаем $OS = OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$.

Следовательно, точка $O$ равноудалена от всех вершин пирамиды и является центром описанной около неё сферы. Это доказывает, что около данной пирамиды можно описать сферу. Утверждение полностью доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

14.18. В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно $b$, а высота равна $h$. Воспользовавшись результатами задач 3 и 4 из $\S 14$, определите, при каком соотношении между боковым ребром $b$ и высотой $h$ центр описанной около пирамиды сферы принадлежит пирамиде, а при каком соотношении — не принадлежит пирамиде.

Пусть дана треугольная пирамида, у которой каждое боковое ребро равно $b$, а высота равна $h$. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а основание — треугольник $ABC$. Пусть $SO=h$ — высота пирамиды, опущенная на плоскость основания. Поскольку все боковые ребра ($SA$, $SB$, $SC$) равны $b$, вершина $S$ проектируется в центр $O$ окружности, описанной около основания $ABC$.

Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через центр описанной около него окружности. В данном случае центр сферы $O_{сф}$ лежит на прямой $SO$.

Введем систему координат с началом в точке $O$, направив ось $Oz$ вдоль высоты $SO$. Тогда точка $O$ имеет координаты $(0, 0, 0)$, а вершина $S$ — $(0, 0, h)$. Пусть $R_{осн}$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. Из прямоугольного треугольника $SOA$ имеем $b^2 = h^2 + R_{осн}^2$.

Центр описанной сферы $O_{сф}$ имеет координаты $(0, 0, z)$. Расстояние от центра сферы до любой ее точки равно радиусу $R$. Следовательно, расстояния от $O_{сф}$ до вершин $S$ и $A$ равны:

$R^2 = |SO_{сф}|^2 = (h-z)^2$

$R^2 = |AO_{сф}|^2 = R_{осн}^2 + z^2$

Приравнивая правые части, получаем:

$(h-z)^2 = R_{осн}^2 + z^2$

$h^2 - 2hz + z^2 = R_{осн}^2 + z^2$

$2hz = h^2 - R_{осн}^2$

Подставим $R_{осн}^2 = b^2 - h^2$:

$2hz = h^2 - (b^2 - h^2) = 2h^2 - b^2$

Отсюда находим координату $z$ центра сферы:

$z = \frac{2h^2 - b^2}{2h}$

Эта формула для положения центра описанной сферы является одним из результатов, на которые ссылается условие задачи.

Центр описанной сферы принадлежит пирамиде, если он расположен на отрезке высоты $SO$, то есть его координата $z$ удовлетворяет условию $0 \le z \le h$.

Центр описанной около пирамиды сферы принадлежит пирамиде

Для того чтобы центр сферы принадлежал пирамиде, необходимо выполнение условия $0 \le z \le h$.

$0 \le \frac{2h^2 - b^2}{2h} \le h$

Поскольку высота $h > 0$, можно умножить неравенство на $2h$:

$0 \le 2h^2 - b^2 \le 2h^2$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:

1) $2h^2 - b^2 \le 2h^2 \implies -b^2 \le 0 \implies b^2 \ge 0$. Это неравенство верно всегда, так как $b$ — длина ребра.

2) $0 \le 2h^2 - b^2 \implies b^2 \le 2h^2$.

Таким образом, центр описанной сферы принадлежит пирамиде, если выполняется соотношение $b^2 \le 2h^2$.

Ответ: $b^2 \le 2h^2$.

Центр описанной около пирамиды сферы не принадлежит пирамиде

Центр сферы не принадлежит пирамиде, если он лежит на прямой $SO$, но вне отрезка $SO$. Это означает, что $z < 0$ или $z > h$.

Как мы показали выше, неравенство $z \le h$ (эквивалентное $b^2 \ge 0$) выполняется всегда. Следовательно, центр сферы может находиться только ниже плоскости основания, то есть при $z < 0$.

Найдем условие, при котором $z < 0$:

$\frac{2h^2 - b^2}{2h} < 0$

Так как $2h > 0$, это неравенство равносильно:

$2h^2 - b^2 < 0 \implies 2h^2 < b^2$

Таким образом, центр описанной сферы не принадлежит пирамиде, если выполняется соотношение $b^2 > 2h^2$.

Ответ: $b^2 > 2h^2$.

14.19. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом $ \alpha $ между диагоналями, а каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $ \beta $. Радиус шара, описанного около данной пирамиды, равен $ R $. Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольник $ABCD$, а $S$ — ее вершина. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. По условию, угол между диагоналями равен $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$.

Так как каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол $\beta$, то вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей $O$. Таким образом, $SO$ — высота пирамиды, а угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол $\angle SAO = \beta$.

Обозначим диагональ прямоугольника через $d$, то есть $AC = d$. Тогда радиус окружности, описанной около основания, равен $r = AO = \frac{d}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. Из него мы можем выразить высоту пирамиды $h=SO$ и длину бокового ребра $l=SA$ через $d$ и $\beta$:
$h = SO = AO \cdot \tan(\angle SAO) = \frac{d}{2} \tan\beta$.
$l = SA = \frac{AO}{\cos(\angle SAO)} = \frac{d/2}{\cos\beta} = \frac{d}{2\cos\beta}$.

Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через центр описанной около основания окружности. В данном случае центр сферы лежит на высоте $SO$. Радиус $R$ этой сферы равен радиусу окружности, описанной около треугольника, образованного диагональю основания и двумя боковыми ребрами, например, $\triangle ASC$.

Найдем радиус $R$ окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ASC$ со сторонами $SA=SC=l$ и $AC=d$. Воспользуемся формулой $R = \frac{a^2c}{2h_c \cdot a}$, где в нашем случае $a=l, c=d$. Более общая формула $R = \frac{abc}{4S_{ABC}}$ также подходит. Площадь треугольника $ASC$ равна $S_{\triangle ASC} = \frac{1}{2} AC \cdot SO = \frac{1}{2} d \cdot h$.

$R = \frac{SA \cdot SC \cdot AC}{4 S_{\triangle ASC}} = \frac{l \cdot l \cdot d}{4 \cdot \frac{1}{2} d \cdot h} = \frac{l^2}{2h}$.

Подставим найденные выражения для $l$ и $h$:

$R = \frac{(\frac{d}{2\cos\beta})^2}{2 \cdot (\frac{d}{2} \tan\beta)} = \frac{\frac{d^2}{4\cos^2\beta}}{d \tan\beta} = \frac{d^2}{4\cos^2\beta} \cdot \frac{1}{d \frac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{d}{4\sin\beta\cos\beta}$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\beta\cos\beta = \sin(2\beta)$, получаем:

$R = \frac{d}{2\sin(2\beta)}$.

Из этого соотношения выразим диагональ основания $d$:

$d = 2R \sin(2\beta)$.

Площадь прямоугольника ($S_{осн}$) может быть найдена через его диагонали и угол между ними по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$. Так как у прямоугольника диагонали равны ($d_1=d_2=d$), формула принимает вид:

$S_{осн} = \frac{1}{2}d^2\sin\alpha$.

Подставим в эту формулу выражение для $d$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} (2R \sin(2\beta))^2 \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \sin^2(2\beta) \sin\alpha = 2R^2 \sin^2(2\beta) \sin\alpha$.

Ответ: $2R^2 \sin^2(2\beta) \sin\alpha$.

14.20. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см, а боковые рёбра пирамиды равны. Найдите высоту пирамиды, если радиус шара, описанного около этой пирамиды, равен 13 см.

Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, её вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Основанием является прямоугольный треугольник, а центр описанной около него окружности находится на середине гипотенузы.

1. Найдём гипотенузу и радиус описанной окружности основания.
Пусть катеты прямоугольного треугольника в основании равны $a = 10$ см и $b = 24$ см. Найдём гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см.
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ($R_{осн}$), равен половине гипотенузы:
$R_{осн} = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

2. Найдём высоту пирамиды.
Центр описанного шара лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды. Радиус шара ($R_{ш}$), радиус описанной окружности основания ($R_{осн}$), высота пирамиды ($H$) и расстояние от центра шара до плоскости основания ($d$) связаны соотношениями:
$R_{ш}^2 = R_{осн}^2 + d^2$ (из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара к вершине основания, радиусом описанной окружности основания и отрезком $d$).
$H = R_{ш} \pm d$ (в зависимости от того, по одну или по разные стороны от плоскости основания лежат вершина пирамиды и центр шара).
Подставим известные значения: $R_{ш} = 13$ см и $R_{осн} = 13$ см.
$d^2 = R_{ш}^2 - R_{осн}^2 = 13^2 - 13^2 = 0$.
Следовательно, $d = 0$. Это означает, что центр описанного шара совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды, то есть лежит в плоскости основания.
В этом случае высота пирамиды $H$ будет равна расстоянию от центра шара (который лежит в основании) до вершины пирамиды, что равно радиусу шара.
$H = R_{ш} = 13$ см.
Ответ: 13 см.

14.21. Основанием пирамиды является треугольник, один из углов которого равен $60^\circ$, а противолежащая ему сторона – $4\sqrt{3}$ см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 5 см. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

Пусть $SABC$ – данная пирамида, основанием которой является треугольник $ABC$. По условию, в треугольнике $ABC$ один из углов равен $60^\circ$, а противолежащая ему сторона равна $4\sqrt{3}$ см. Пусть это будут угол $\angle A = 60^\circ$ и сторона $BC = a = 4\sqrt{3}$ см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 5 см, то есть $SA = SB = SC = l = 5$ см.

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны, вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Обозначим этот центр как $O_1$, а радиус этой окружности как $R_{осн}$. Таким образом, $O_1A = O_1B = O_1C = R_{осн}$, и высота пирамиды $h$ равна длине отрезка $SO_1$.

Найдем радиус описанной окружности основания $R_{осн}$ с помощью теоремы синусов для треугольника $ABC$: $$ \frac{a}{\sin A} = 2R_{осн} $$ Подставим известные значения: $$ R_{осн} = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \text{ см}. $$

Теперь найдем высоту пирамиды $h = SO_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SO_1A$. Его катеты – это высота пирамиды $SO_1$ и радиус описанной окружности основания $O_1A = R_{осн}$, а гипотенуза – боковое ребро $SA = l$. По теореме Пифагора: $$ SA^2 = SO_1^2 + O_1A^2 $$ $$ l^2 = h^2 + R_{осн}^2 $$ Подставим известные значения: $$ 5^2 = h^2 + 4^2 $$ $$ 25 = h^2 + 16 $$ $$ h^2 = 25 - 16 = 9 $$ $$ h = 3 \text{ см}. $$

Центр $O$ сферы, описанной около пирамиды, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через центр описанной окружности основания $O_1$. Эта прямая совпадает с прямой, содержащей высоту пирамиды $SO_1$. Расстояние от центра сферы $O$ до любой вершины пирамиды равно радиусу сферы $R_{сф}$. То есть $OA = OS = R_{сф}$. Искомое расстояние от центра сферы до плоскости основания – это длина отрезка $OO_1$. Обозначим это расстояние как $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_1A$. Его катеты – $OO_1 = d$ и $O_1A = R_{осн} = 4$ см, а гипотенуза – $OA = R_{сф}$. По теореме Пифагора: $$ OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2 $$ $$ R_{сф}^2 = d^2 + 4^2 = d^2 + 16. $$

Точки $S$, $O$ и $O_1$ лежат на одной прямой. Расстояние $OS$ также равно $R_{сф}$. Длина отрезка $SO_1$ равна высоте пирамиды $h = 3$ см. Расстояние $OS$ зависит от положения точки $O$ относительно плоскости основания. Если центр сферы $O$ и вершина $S$ находятся по разные стороны от плоскости основания, то $OS = OO_1 + SO_1 = d + h = d + 3$. Если они находятся по одну сторону, то $OS = |SO_1 - OO_1| = |h - d| = |3 - d|$. Приравняем квадраты радиусов $OA^2 = OS^2$: $$ d^2 + 16 = OS^2 $$ Рассмотрим оба случая. Уравнение $d^2 + 16 = (3-d)^2$ приводит к $16 = 9 - 6d$, откуда $d = -7/6$, что невозможно, так как расстояние не может быть отрицательным. Следовательно, верен случай, когда центр сферы и вершина находятся по разные стороны от основания: $$ d^2 + 16 = (d + 3)^2 $$ $$ d^2 + 16 = d^2 + 6d + 9 $$ $$ 16 = 6d + 9 $$ $$ 7 = 6d $$ $$ d = \frac{7}{6} \text{ см}. $$ Это решение является физически осмысленным. Таким образом, расстояние от центра описанной сферы до плоскости основания пирамиды равно $7/6$ см.

Ответ: $\frac{7}{6}$ см.

14.22. Радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, равен 25 см, а расстояние от его центра до плоскости основания пирамиды равно 7 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. Обозначим ее высоту как $h$, боковое ребро как $l$. Пусть $R$ – радиус описанной около пирамиды сферы, а $d$ – расстояние от центра сферы до плоскости основания. По условию, $R = 25$ см, $d = 7$ см.

Центр описанной сферы $O$ для правильной пирамиды лежит на ее высоте. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через боковое ребро и высоту. Это сечение содержит высоту пирамиды $h$, боковое ребро $l$ и радиус $r$ окружности, описанной около основания. Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Следовательно, они связаны соотношением: $l^2 = h^2 + r^2$

Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (как гипотенузой), расстоянием $d$ от центра сферы до основания (как одним катетом) и радиусом $r$ описанной около основания окружности (как вторым катетом). По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$

Подставим известные значения, чтобы найти $r$: $25^2 = 7^2 + r^2$ $625 = 49 + r^2$ $r^2 = 625 - 49 = 576$ $r = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь необходимо найти высоту $h$. Вершина пирамиды и ее основание находятся на сфере. Центр сферы $O$ лежит на прямой, содержащей высоту $h$. Расстояние от $O$ до вершины равно $R$, и расстояние от $O$ до любой точки на окружности, описанной вокруг основания, также равно $R$. Это приводит к двум возможным вариантам расположения центра сферы относительно основания пирамиды.

1. Центр сферы $O$ находится между вершиной пирамиды и ее основанием. В этом случае высота пирамиды $h$ равна сумме радиуса сферы $R$ (отрезок от центра до вершины) и расстояния $d$ (отрезок от центра до основания): $h_1 = R + d = 25 + 7 = 32$ см.

2. Основание пирамиды находится между ее вершиной и центром сферы $O$. В этом случае радиус сферы $R$ (отрезок от центра до вершины) равен сумме высоты $h$ и расстояния $d$: $R = h + d$, откуда $h_2 = R - d = 25 - 7 = 18$ см.

Оба случая являются геометрически возможными. Для каждого случая найдем соответствующее боковое ребро $l$, используя ранее выведенную формулу $l^2 = h^2 + r^2$.

Для высоты $h_1 = 32$ см: $l_1^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600$ $l_1 = \sqrt{1600} = 40$ см.

Для высоты $h_2 = 18$ см: $l_2^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$ $l_2 = \sqrt{900} = 30$ см.

Поскольку условие задачи не исключает ни один из двух возможных случаев, задача имеет два решения.

Ответ: 30 см или 40 см.

14.23. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см, а одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания. Найдите высоту пирамиды, если радиус описанного около неё шара равен 4 см.

Пусть дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $a = 4$ см и $b = 6$ см. Одно из боковых ребер, пусть это будет $SA$, перпендикулярно плоскости основания. Это означает, что $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим эту высоту через $h$.

Пирамиду с прямоугольным основанием и высотой, совпадающей с боковым ребром, исходящим из одной из вершин основания, можно вписать в прямоугольный параллелепипед. Измерения этого параллелепипеда будут равны сторонам прямоугольника в основании и высоте пирамиды, то есть $a=4$ см, $b=6$ см и $h$.

Сфера, описанная около такой пирамиды, совпадает со сферой, описанной около этого прямоугольного параллелепипеда. Все вершины пирамиды ($S, A, B, C, D$) являются вершинами параллелепипеда.

Диаметр $d$ сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен его пространственной диагонали. Квадрат пространственной диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + h^2$

Радиус описанной сферы $R$ связан с диаметром соотношением $d = 2R$. Подставив это в формулу, получаем:

$(2R)^2 = a^2 + b^2 + h^2$

Из условия задачи нам известны стороны основания $a=4$ см, $b=6$ см и радиус описанной сферы $R=4$ см. Подставим эти значения в уравнение и найдем высоту $h$:

$(2 \cdot 4)^2 = 4^2 + 6^2 + h^2$

$8^2 = 16 + 36 + h^2$

$64 = 52 + h^2$

Отсюда выразим $h^2$:

$h^2 = 64 - 52$

$h^2 = 12$

Теперь найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

14.24. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 3 см. Одно из боковых рёбер пирамиды равно 2 см и перпендикулярно плоскости основания. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана пирамида SABC, где ABC — правильный треугольник в основании, а боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. По условию, сторона основания a = 3 см, а высота пирамиды (длина ребра SA) h = 2 см.

Центр O описанной около пирамиды сферы равноудален от всех ее вершин, то есть OA = OB = OC = OS = R, где R — искомый радиус сферы.

Проекция центра сферы O на плоскость основания (ABC) является центром O' окружности, описанной около треугольника ABC. Найдем радиус r этой окружности. Так как треугольник ABC правильный, радиус описанной около него окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставляем значение a = 3 см:

$r = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Таким образом, O'A = O'B = O'C = r = \sqrt{3} см.

Пусть расстояние от центра сферы O до плоскости основания (ABC) равно x. Тогда OO' = x. Из прямоугольного треугольника OO'A по теореме Пифагора квадрат радиуса сферы равен:

$R^2 = OA^2 = (O'A)^2 + (OO')^2 = r^2 + x^2 = (\sqrt{3})^2 + x^2 = 3 + x^2$

Теперь рассмотрим расстояние от центра сферы O до вершины S. Точка S находится на высоте h = 2 см от плоскости основания, а точка O — на высоте x. Центр O лежит на перпендикуляре к основанию, проходящем через точку O'. Вершина S лежит на перпендикуляре к основанию, проходящем через точку A. Расстояние между этими перпендикулярами равно O'A = r = \sqrt{3}. Разность высот точек S и O равна h - x. Тогда квадрат расстояния OS можно найти как сумму квадратов катетов в пространстве:

$R^2 = OS^2 = (O'A)^2 + (h - x)^2 = r^2 + (h - x)^2 = (\sqrt{3})^2 + (2 - x)^2 = 3 + (2 - x)^2$

Приравняем два полученных выражения для $R^2$:

$3 + x^2 = 3 + (2 - x)^2$

$x^2 = (2 - x)^2$

$x^2 = 4 - 4x + x^2$

$0 = 4 - 4x$

$4x = 4$

$x = 1$ см.

Теперь найдем радиус сферы R, подставив значение x в любое из уравнений для $R^2$:

$R^2 = 3 + x^2 = 3 + 1^2 = 4$

$R = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

14.25. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной $a$. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а третья грань образует с основанием угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

Пусть $SABC$ – данная пирамида, где $ABC$ – правильный треугольник со стороной $a$ в основании. По условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это будут грани $(SAB)$ и $(SAC)$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $(SAB)$ и $(SAC)$ является боковое ребро $SA$. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, и $SA$ является высотой пирамиды $H$.

Третья боковая грань $(SBC)$ образует с основанием угол $\alpha$. Угол между двумя плоскостями измеряется линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. Для нахождения этого угла построим перпендикуляры к линии пересечения плоскостей $BC$. Проведем в основании высоту $AM$ к стороне $BC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, $AM$ также является медианой и биссектрисой. Длина высоты $AM$ в правильном треугольнике со стороной $a$ равна:$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Поскольку $SA \perp (ABC)$, то $SA$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности $SA \perp AM$. Также проекцией наклонной $SM$ на плоскость основания является отрезок $AM$. Так как $AM \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах и наклонная $SM \perp BC$. Следовательно, угол $\angle SMA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью грани $(SBC)$ и плоскостью основания $(ABC)$. По условию, $\angle SMA = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAM$ (угол $\angle SAM = 90^\circ$). Из него мы можем найти высоту пирамиды $H = SA$:$\tan(\alpha) = \frac{SA}{AM} \implies H = SA = AM \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)$

Теперь найдем радиус $R$ описанной около пирамиды сферы. Центр описанной сферы $O$ равноудален от всех четырех вершин пирамиды $S, A, B, C$. Проекция центра сферы $O$ на плоскость основания $(ABC)$ есть центр $O_1$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. Радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, равен:$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Центр сферы $O$ лежит на прямой, перпендикулярной плоскости $(ABC)$ и проходящей через точку $O_1$. Пусть расстояние от центра сферы $O$ до плоскости основания равно $d$. Тогда квадрат радиуса сферы $R$ можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle OO_1A$:$R^2 = OA^2 = O_1A^2 + OO_1^2 = R_{осн}^2 + d^2$

С другой стороны, расстояние от центра сферы $O$ до вершины $S$ также равно $R$. Точка $S$ находится на высоте $H$ над точкой $A$. Прямая $OO_1$ параллельна высоте $SA$. Расстояние по горизонтали от точки $S$ до прямой $OO_1$ равно расстоянию $AO_1$, которое равно $R_{осн}$. Расстояние по вертикали между $S$ (на высоте $H$) и $O$ (на высоте $d$) равно $|H-d|$. Тогда:$R^2 = OS^2 = R_{осн}^2 + (H-d)^2$

Приравнивая два полученных выражения для $R^2$, имеем:$R_{осн}^2 + d^2 = R_{осн}^2 + (H-d)^2$$d^2 = (H-d)^2$$d^2 = H^2 - 2Hd + d^2$$2Hd = H^2$Поскольку $H \neq 0$ (иначе угол $\alpha=0$), получаем $d = \frac{H}{2}$.

Подставим найденное значение $d$ в формулу для радиуса сферы:$R^2 = R_{осн}^2 + d^2 = R_{осн}^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2 = R_{осн}^2 + \frac{H^2}{4}$

Теперь подставим выражения для $R_{осн}$ и $H$:$R_{осн}^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{a^2}{3}$$H^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)\right)^2 = \frac{3a^2}{4} \tan^2(\alpha)$

$R^2 = \frac{a^2}{3} + \frac{1}{4} \left(\frac{3a^2}{4} \tan^2(\alpha)\right) = \frac{a^2}{3} + \frac{3a^2 \tan^2(\alpha)}{16}$Приводя к общему знаменателю 48, получаем:$R^2 = \frac{16a^2 + 9a^2 \tan^2(\alpha)}{48} = \frac{a^2(16 + 9 \tan^2(\alpha))}{48}$

Окончательно, извлекаем квадратный корень, чтобы найти радиус $R$:$R = \sqrt{\frac{a^2(16 + 9 \tan^2(\alpha))}{48}} = \frac{a\sqrt{16 + 9 \tan^2(\alpha)}}{\sqrt{48}} = \frac{a\sqrt{16 + 9 \tan^2(\alpha)}}{4\sqrt{3}}$Избавимся от иррациональности в знаменателе:$R = \frac{a\sqrt{3}\sqrt{16 + 9 \tan^2(\alpha)}}{12}$

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{3}}{12}\sqrt{16 + 9 \tan^2\alpha}$

14.26. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны $5\sqrt{3}$ см и $12\sqrt{3}$ см, а её высота — 17 см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Пусть $a_1$ и $a_2$ — стороны нижнего и верхнего оснований правильной треугольной усеченной пирамиды, а $H$ — ее высота. По условию задачи имеем:
Сторона нижнего основания $a_1 = 12\sqrt{3}$ см.
Сторона верхнего основания $a_2 = 5\sqrt{3}$ см.
Высота пирамиды $H = 17$ см.

Основаниями пирамиды являются правильные (равносторонние) треугольники. Радиус $r$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Найдем радиусы окружностей, описанных около оснований пирамиды:
Радиус описанной окружности нижнего основания:
$r_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$ см.
Радиус описанной окружности верхнего основания:
$r_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5$ см.

Центр шара, описанного около правильной усеченной пирамиды, лежит на ее высоте (оси), соединяющей центры оснований. Обозначим центры нижнего и верхнего оснований как $O_1$ и $O_2$ соответственно, а центр шара — как $O$. Искомый радиус шара обозначим как $R$.

Все вершины усеченной пирамиды лежат на поверхности шара и, следовательно, равноудалены от его центра $O$ на расстояние $R$. Пусть расстояние от центра шара $O$ до плоскости нижнего основания (до точки $O_1$) равно $x$. Тогда расстояние от $O$ до плоскости верхнего основания (до точки $O_2$) будет равно $H - x = 17 - x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом описанной окружности нижнего основания $r_1$ (катет) и отрезком $x$ (второй катет). По теореме Пифагора:
$R^2 = r_1^2 + x^2 = 12^2 + x^2 = 144 + x^2$.

Аналогично, для верхнего основания рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом описанной окружности $r_2$ (катет) и отрезком $17 - x$ (второй катет). По теореме Пифагора:
$R^2 = r_2^2 + (H - x)^2 = 5^2 + (17 - x)^2 = 25 + (17 - x)^2$.

Так как левые части обоих уравнений равны $R^2$, приравняем их правые части, чтобы найти $x$:
$144 + x^2 = 25 + (17 - x)^2$
$144 + x^2 = 25 + (289 - 34x + x^2)$
$144 + x^2 = 314 - 34x + x^2$
$144 = 314 - 34x$
$34x = 314 - 144$
$34x = 170$
$x = \frac{170}{34} = 5$ см.

Теперь, зная $x$, можем найти радиус шара $R$. Подставим значение $x=5$ в первое уравнение для $R^2$:
$R^2 = 144 + x^2 = 144 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.